Was sind die Quadratwurzeln von 2i?

Aufgabe ist finde die Quadratwurzeln von 2i.

wie geht das?

Answer 1

[aperfect10]

In Exponentialschreibweise ist

$i = e^{\frac{i\pi}{2}}$ Dann kannst Du diese Formel anwenden, um die beiden Wurzeln zu bestimmen (sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen).

Answer 2

[FataMorgana2010]

Wenn du das nicht mit Polarkoordinaten/Exponentialschreibweise machen willst, kannst du das auch direkt ausrechnen:

Du suchst eine/zwei komplexe Zahlen, die kannst du so schreiben:

a+bi mit reellen Zahlen a und b

Also hast du

(a+bi)² = 2i

Ausmultipliziert

a² + 2abi - b² = 2i

Vergleich der Realteile links und rechts ergibt:

I. a² - b² = 0

Vergleich der Imaginärteile links und rechts ergibt

II. a * b = 1

Aus I. folgt a = b oder a = - b.

Eingesetzt in II. folgt für a=b

a * a = 1, also a² = 1 und damit a = 1 oder a= -1, das ergibt die beiden Lösungen

1 + i und -1 - i.

Setze ich a = - b in II. ein, so erhalte ich

a * (-a) = 1, also -a² = 1, das hat in R keine Lösungen, so dass ich für diesen Fall auch keine weiteren Wurzeln finde.

Die beiden Wurzeln sind also

1 + i

-1 - i

Zur Probe setze ich das mal ein:

(1 + i)² = 1 + 2i - 1= 2i.

Answer 3

[Rammstein53]

z = 2*i

arg(z) = pi/2 (der Winkel der komplexen Zahl i beträgt 90 Grad)

Daraus folgt:

arg( sqrt(z) ) = pi/4

Daraus folgt:

sqrt(z) = sqrt(2)*(cos(pi/4) + i*sin(pi/4))