Was heißt "tangential" in der Mathematik?
Guten Abend,
Ich habe wieder ein Problem mit einer Aufgabe, undzwar verstehe ich nicht was "tangential" bedeutet, ich hatte diesen Begriff gegoogelt, aber aus den Ergebnissen wurde ich nicht wirklich schlau. Dies muss ich wissen für die unten gezeigte Aufgabe, diese habe ich ausgerechnet und eine Funktionsgleichung gebildet, jedoch ist diese nicht linear wie die eines Klassenkameraden und ich würde gerne wissen welcher der beiden Ergebnisse bei der Aufgabe richtig wäre
5 Antworten
Dein Ansatz ist richtig.
Tangential bedeutet hier, dass die beiden Geraden Tangenten zum Graphen der gefundenen ganzrationalen Funktion sind.
D. h. du hast die folgenden Bedingungen für die Funktion:
Sie muss durch die beiden Punkte A und B gehen. (Bedingung 1 und 2)
Sie muss an diesen beiden Punkten die gleiche Steigung haben wie die entsprechenden Geraden (Bedingungen 3 und 4)
In der Aufgabe ist dann noch eine zusätzliche Bedingungen (f''(3) = 0) .
Erfüllt deine Funktion alle 5 Bedingungen?
hmm, warum MUSS sie 4. Grades sein? 2 Extrema würden doch theoretisch ausreichen? Woran erkennt man das?
Nein, das habe ich ja nicht geschrieben - ich habe nur geschrieben, dass der Ansatz ist, eine Funktion 4. Grades zu nehmen. Warum? Ich habe fünf Gleichungen, das macht 5 mögliche Variablen. Also
ax^4 + b x³ + c x² + dx + e. Hier kommt dann auch tatsächlich eine solche Funktion heraus. Wenn ich die letzte Bedingung weglasse, dann habe ich noch vier Variablen, würde also eine Funktion 3. Grades versuchen - mit dem Ergebnis a = 0, die Funktion ist dann nur 2. Grades.
5 Gleichungen => 5 Variablen ist natl. prinzipiell bekannt...
OK, deshalb die allgemeine Gleichung mit 5 Variablen und die ist dann halt 4. Grades...
Naja, solche KurvenscharenBerechnungen gabs zu meiner Zeit nicht so häufig =;-)
Thx
Ich glaube ja, außer die letzte, da mein f"(3) = -0.75 wäre (Hatte die zweite Antwort noch nicht gesehen)
Genau - außer die letzte. Du hast es also im Prinzip richtig gemacht, aber eben nicht wirklich richtig. :-)
Eine Tangente ist die eindeutige Grenzlage einer Sekante, die zwei Schnittpunkte hat, wenn der eine Schniitpnumkt sich dem anderen Schnittpunkt beliebig nähert.
Es gibt auch Graphen von Funktionen, die in einem oder mehreren Punkten keine derartige eindeutige Tangente haben.
Die Lösung deines Klassenkameraden ist falsch.
Deine Lösung erfüllt nicht die Forderung, dass die 2. Ableitung an der Stelle B Null ist.
Es muß gelten: f´´(3) = 0 ; f´(3) = -2 ; f(3) = 2 ; f´(-1) = 1 ; f(-1) = 4 ;
Das ergibt 5 lineare Gleichungen mit 5 Variablen.
Die Funktion muß also mindestens 4. Grades sein.
Ansatz: f(x) = ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx + e ;
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis bzw. eine Kurve an einem Punkt berührt. Dieses Berühren an nur einem Punkt nennt man auch "tangieren". "Das tangiert mich nicht" bedeutet, dass es jemanden nicht emotional berührt oder interessiert.
Tangential ist also in der Art einer Tangente.
Dein Ansatz ist richtig, aber unvollständig. Deine Kollegin liegt vollkommen falsch!
Eine Tangente schneidet, bzw. berührt eine Kurve nur in einem Punkt.
Jetzt hast Du 2 Geraden und sollst die entsprechende Kurvenfunktion aufstellen. Die 'BerührPunkte' sind vorgegeben! Die Kurve muss dort durchlaufen UND die Steigung der Geraden haben!
Zusätzlich soll in B ein Wendepunkt liegen!
Hmm, mir ist gerade aufgefallen das meine nicht richtig sein kann da die zweite Ableitung ja gleich 0 sein soll also f''(x) = 0, also 2a = 0 was aber mit meiner falsch sein würde da mein a = (-0.375) ist. Welche ist dann richtig, da ja dann beide falsch wären?
Genau - da du die letzte Bedingung vergessen hast, sind beide Lösungen falsch.
Ok, DAS hab ich natl. auf die Schnelle nicht überprüft! ABER im Prinzip soll die Kurve halt so aussehen!
Und warum sollte aus f''(x) folgen, dass 2a = 0 gilt? Du hast insgesamt 5 Bedingungen. Also musst du im Ansatz von einer Funktion 4. Grades ausgehen.
Im Prinzip soll das so eine geschwungene Kurve sein - aber eben nicht diese.
Also tangential kommt von tangere und bedeutet berühren, es ist also eine Tangente damit gemeint, die praktisch an einen Kreis, Hyperbel, ect. anliegt.
Auf den ersten Blick ist deins richtig, weil die unteren beiden Funktionen sind linear und tangential
Ich hab's mal nachgerechnet. Ohne die letzte Bedingung wäre deine Rechnung völlig richtig - aber deine Funktion erfüllt leider gerade diese letzte Bedingung nicht.
Du hast ja folgende 5 Bedingungen:
f(-1)=4
f(3)=2
f'(-1)= 1
f'(3) = -2
f''(3) = 0
Bei 5 Bedingungen lautet der Ansatz, dass du eine Funktion 4. Grades hast, für die du entsprechend folgendes Gleichungssystem bekommst:
a - b + c - d + e = 4
81a + 27b + 9c + 3d + e = 2
-4a + 3b - 2c + d = 1
108a + 27b + 6c + d = -2
108a + 18b + 2c = 0
Wenn du das löst, bekommst du als Funktion:
f(x) = 3/128·x^4 - 3/32·x^3 - 27/64·x^2 + 17/32·x + 619/128