Verhalten im Unendlichen e Funktion?

e^x -2e^-x

Wie bestimme ich hier das verhalten?

Answer 1

[mihisu]

Beachte das Grenzwertverhalten der Exponentialfunktion...

$\lim\limits_{x\to -\infty}\text{e}^{x}=0,\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^{x}=+\infty$

$\lim\limits_{x\to -\infty}\text{e}^{-x}=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=0$

Grob zur Veranschaulichung gesagt...

$\text{e}^{-\infty}=0,\quad \text{e}^{+\infty}=+\infty$

Damit erhält man dann...

$\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\underbrace{\text{e}^{x}}_{\to 0}\overbrace{-2\cdot \underbrace{\text{e}^{-x}}_{\to +\infty}}^{\to -\infty}\right)=-\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\underbrace{\text{e}^{x}}_{\to +\infty}-\overbrace{2\cdot \underbrace{\text{e}^{-x}}_{\to 0}}^{\to 0}\right)=+\infty$

Comments

[Goodqueston54]

Danke, so weit kam ich auch. Aber ich verstehe nicht den letzten Schritt.. welcher "Teil" gewinnt und setzt sich durch? Es ist ja immer die e funktion die stärker ist aber hier kommt sie ja 2 mal vor...

[mihisu]

@Goodqueston54

Da braucht nicht wirklich etwas „stärker“ zu sein. Ein Teil ist 0. Und wenn man 0 addiert/subtrahiert ändert das nichts. Übrig bleibt dann noch der Teil -∞ bzw. +∞.

Was ist beispielsweise 0 - 200000? Frägst du dich dann auch, ob da 0 oder 200000 stärker ist? Nein, du gibst dann vermutlich einfach 0 - 200000 = -200000 an.

Bei sowas wie hier, wenn 0 addiert/subtrahiert wird, ist die Sache klar. [Wo es auf die „Stärke“ ankommen würde, wäre beispielsweise sowas wie 0 ⋅ ∞ als unbestimmter Ausdruck. Aber das hat man hier ja nicht vorliegen.]

[Goodqueston54]

@mihisu

Okay danke!