Tangente aufgabe?

Gegeben ist die Funktion (x-1)*e^(-0,5x)

Die tangente an den graph an der Stelle -1 ist eine ursprungsgerade.

An welcher weiteren Stelle ist die tangente an f ebenfalls eine ursprungsgerade?

Wie löse ich das?

Answer 1

[Halbrecht]

Ableiten mit Produktregel und Kettenregel

,

.

die Steigung einer  Tangente, die durch (0/0) geht , ist einerseits 

m = ( (x-1)e^(-0.5x) - 0 ) / ( x - 0 ) 

und andererseits ( wg f'(x) 

m = e^(-0.5x) * (1.5-0.5x)

.

beides gleichsetzen 

( (x-1)e^(-0.5x) ) / ( x ) gleich e^(-0.5x) * (1.5-0.5x)

nach teilen durch e^x

(x-1)/x = (1.5-0.5x)

x-1 = 1.5x - 0.5x²

mal -2

-2x + 2 = -3x + x²

0 = x² + x - 2 

x1 = -1

x2 = +2

Answer 2

[gauss58]

Funktion f(x) und Tangente g(x) haben einen gemeinsamen Punkt und die gleiche Steigung. Also setzt Du die Funktionen gleich f(x) = g(x) und die Steigung gleich f'(x) = g'(x). Das sind 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (x sowie Steigung in x).

Answer 3

[evtldocha]

Es müssen die Bedingungen

$\left(1\right)\ m\cdot x\ =\ f\left(x\right)\ \to m=\frac{f\left(x\right)}{x}$ $\left(2\right)\ m=f'\left(x\right)$

erfüllt sein und daher ist die Gleichung $f'\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$ zu lösen. Das führt zur quadratischen Gleichung $x^2-x-2\ =\ 0\ \to x_{1/2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+2}=\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$

Damit liegt die zweite Ursprungs-Tangente bei x=2

Skizze:

Answer 4

[Hamburger02]

Wie löse ich das?

Das kann man z.B. graphisch lösen: