Stromstärke berechnen in einer Schaltung?
Guten Tag,
ich habe ein folgendes Problem in meiner Aufgabe. Und zwar bekomme ich verschiedene Werte für I raus.
Hier ist die Skizze (Aufgabe) mit meiner Lösung:
Berechnen Sie das I.
Seite 1:
Seite 2:
Seite 3:
Problem/Ansatz:
Auf meinen Blättern (siehe unten) habe ich alles mit Maschenstromverfahren berechnet.
1. Maschen finden. (Hier zwei Stück)
2. Stromquellen konvertieren (Hier nicht der Fall)
3. LGS aufstellen mit (U = R * I Formel aufstellen)
4. Zahlen in LGS einsetzen
5. I rausbekommen
Genau hier bekomme ich aber nicht das Ergebnis raus. Für I bekomme ich komischerweise einmal -0,333A oder -0,154A raus. Das kann definitiv nicht sein.
Könnt ihr mir erklären wo ich den Fehler habe, und auch als Kontrolllösung mir das I als Ampere schreiben, damit ich das nochmal sauber auf ein Blatt berechnen kann? Wäre sehr nett von euch.
Danke im Voraus <3
4 Antworten
Ich würde hier vorschlagen erstmals die Schaltung zu vereinfachen.
Wenn du dir die Verbindungen ansiehst wirst du erkennen, dass die beiden 10 Ohm Widerstände eigentlich parallel geschalten sind.
Der 1 Ohm Widerstand welcher Quer gezeichnet ist ist eigentlich parallel zur 2V Spannungsquelle und dem 1Ohm Widerstand welcher dazu in Serie ist.
Das lässt dir die Schaltung einfacher zu zeichnen und wenn du die Parallelschaltung durch äquivalente Widerstände ersetzt ist diese Aufgabe sehr schnell gelöst.
Nein du kannst doch nicht einfach alle Widerstände zusammenfassen.
Aber du kannst (R3||R5) rechnen und statt R5 diesen Ersatzwiderstand schreiben. R3 verschwindet dann eben.
R2||R4 kannst du hingegen nur in der Helmholtz bzw Superpositionsmethode ersetzen.
Sobald du aber diese Widerstände umgezeichnet hast kannst du 2 recht einfache Maschengleichungen aufstellen:
1) U1 = UR2+UR4
2) U2 = UR4-UR1-UR3||R5
Knotengleichungen aufstellen und I berechnen.
Nennen wir den Strom durch die Spannungsquelle I2 dann werden die Maschengleichungen zu:
U1 = I2*R2+I1*R4
U2 = I1*R4-(I2-I1)*R1-(I2-I1)*R3||R5
Und jetzt umformen:
Wie aus den Maschengleichungen direkt ersichtlich kann man beide Gleichungen in eine Gleichung bringen in dem man aus der erste UR4 berechnet und in die zweite einsetzt, das liefert:
U2=U1-UR2-UR1-UR3||R4
U2 = U1 - I2*R2 - (I2-I1)*R1 - (I2-I1)*R3||R5
herausheben liefert:
U2=U1-I2*R2-(I2-I1)*(R1+R3||R5)
I2 erhalten wir aus der ersten Maschengleichung und es ergibt sich zu
I2=(U1-I1*R4)/R2=U1/R2-I1*R4/R2
einsetzen liefert:
U2 = U1 - U1 + I1*R4 - (U1/R2-I1*R4/R2 - I1)*(R1+R3||R5)
U2 =I1*R4 - U1/R2*(R1+R3||R5) + I1*R4/R2*(R1+R3||R5) + I1*(R1+R3||R5)
herausheben liefert:
U2 +U1/R2*(R1+R3||R5) = I1*(R4 + R4/R2*(R1+R3||R5) + (R1+R3||R5))
Da hast du deine Bestimmungsgleichung für I1.
Ok ich rechne das nochmal schön auf meinem Papier. Danke für deinen Gedankenanstoss. Diese Knotengleichung macht mich echt fertig :.(
Knotengleichung hast du nach dem vereinfachen nur noch eine.
Wenn wir den Strom durch die 1V Spannungsquelle als I3 bezeichnen ist diese Kontengleichung I3=I2-I1.
In meiner Berechnung habe ich diese Gleichung nicht aufgstellt sondern den Strom durch diese Spannungsquelle als (I2-I1) geschrieben. Womit es bei dem Beispiel nur noch ums geschickte Umformen der Maschengleichungen geht.
Hallo!
Zuerst muss ich sagen, dass dein Ansatz schon mal ganz gut ist. Jedoch kann I1 nicht direkt aus der Lösungsgleichung ausgerechnet werden, sondern nur die Kreisströme bzw. Maschenströme.
D.h. ein Strom aus der Gleichung fließt nur der blauen Linie entlang und der andere nur der gelben. Wichtig ist daher, dass du in der Matrix nicht beide Ströme mit I1 bezeichnest. Nimm z.B. Im1 und Im2 für die Maschenströme, dann ist Verwechslung ausgeschlossen. In deiner Zeichnung sieht man gut, dass I1 sich aus dem blauen Strom (Im1) und dem gelben Strom (Im2) zusammensetzt. Diese müssen noch vorzeichenrichtig addiert werden.
Du könntest einen Zwischenschritt, zwischen 2 und 3 einzufügen, dann fällt das aufstellen der Lösungsgleichung deutlich leichter. Beachte beim aufstellen der Gleichungen für die Maschenströme, dass R4 von beiden Strömen durchflossen wird.
Bitte gerne! Hoffe es hilft dir weiter...
Vlt. noch angemerkt: poseidon42 hat natürlich recht damit, dass alle Maschenströme in dem betreffenden Zweig berücksichtigt werden müssen um die tatsächlichen Ströme dann ausrechnen zu können.
Nur um I1 zu berechnen brauchst du die weiteren Maschenstöme nicht, da diese nie über den Zweig mit R4 fließen würden.
Für die Ströme durch R1, R2, R3 und R4 würden zusätzlich noch 2 weitere Maschen (über die Diagonale mit R3) notwendig werden. Dann wäre es halt eine 4x4 Matrix.
Du hast eine Masche vergessen ... , und zwar eine, die den diagonalen Zweig beinhaltet. Wenn du dann das Verfahren erneut anwendest solltest du auf das richtige Ergebnis kommen.
Achso also nur eins? Aber wie würde ich das LGS aufstellen? (i1, i1, i1)?
Nein, du brauchst 3 Maschenströme. Um zu überprüfen ob du wirklich alle Maschenströme gefunden hast musst du einfach überprüfen ob deine Maschen in der Gesamtheit jeden Zweig des Netzwerkes mindestens einmal enthalten. Man kann wunderbar auf deiner farbigen Skizze erkennen, dass der mittlere Zweig nirgendwo enthalten ist, ergo hast du nicht alle benötigten Maschenströme eingezeichnet/berücksichtigt. Du musst also einen weiteren Maschenstrom hinzufügen, welcher den Diagonalzweig enthält. Sobald du dies getan hast erhälst du ein LGS in 3 Unbekannten, welches du dann nach den gesuchten Größen lösen kannst.
Um alle Ströme zu berechnen werden 4 Maschenströme benötigt. Um den hier in diesem Beispiel gesuchten Strom I (durch R4) zu berechnen, reichen die beiden von vikiller01 markierten Maschen M1 und M2 aus.
Das kann so leider nicht stimmen. Insgesamt haben wir:
b = 5 - Zweige
n = 3 - Knoten
Der Baum, welcher eine Teilmenge der Gesamtmenge der Zweige darstellt, und dadurch charakterisiert ist, dass er alle Knoten miteinander verbindet ohne dabei einen geschlossenen Pfad zu erzeugen, besitzt (n - 1) = 2 Zweige. Der Co-Baum, welcher alle übrigen Zweige enthält, besitzt hier b - (n - 1) = 5 - 2 = 3 Zweige. Das hinzufügen eines jeden Zweiges des Co-Baumes in den Baum führt zu einer zusätzlichen unabhängigen Masche. Wir erhalten somit also b - (n - 1) = 3 unabhängige Maschengleichungen und (n - 1) = 2 unabhängige Knotengleichungen. Basis für den Ansatz des Maschenstromverfahrens bilden die unabhängigen Maschengleichungen von der Form:
0 = U1 + ... + Un
0 = Uj + ...
...
Welche in Matrixform unter Vorrausetzung von einem rein resistiven Netzwerkes mit Spannungsquellen wie folgt vereinfacht dargestellt werden kann:
U = Z * I
hierbei sind U und I Vektoren und Z eine Matrix. Von oben folgt, dass hier die Anzahl benötigter Maschen M = 3 ist (da 3 unabhängige Maschengleichungen) um die Maschenströme und damit die einzelnen Zweigströme zu bestimmen.
Ich habe nun 3 Maschen gewählt, so dass folgt:
(i) U1 = (R2 + R4)*I1 - R4*I2
(ii) - U2 = (R1 + R3 + R4)*I2 - R3*I3 - R4*I1
(iii) 0 = (R3 + R5)*I3 - R3*I2
Einsetzen der numerischen Werte liefert:
U = [2V , - 1V , 0]^T
I = [I1 , I2, I3]^T
Z = {{2, -1, 0}, {-1, 12, -10}, {0, -10, 20}} * Ohm
für die Matrix siehe auch hier:
Schließlich folgt die Lösung zu:
I = Z^-1 * U
Explizit ausgerechnet:
Wir erhalten also für die Maschenströme:
I = [1A , 0 , 0]^T
Der gesuchte Zweigstrom Iges folgt dann aus der Linearkombination:
Iges = I1 - I2
Mit I1 = 1A und I2 = 0 erhalten wir dann den gesuchten Strom zu
Iges = 1A
Man kann sich schnell versichern, dass es sich hierbei um die tatsächliche Lösung handelt, wenn man die Maschenströme mithilfe der Schaltung verifiziert. Die oben angegebene Lösung ist augenscheinlich korrekt.
Hier noch die Skizze mit allen Kreisströmen aus welchen sich die tatsächlichen Ströme dann zusammensetzen.
Reichen eigentlich 3 Maschen oder muss man alle Maschen einbinden?
Kommt darauf an welchen Strom du rechnen willst. Durch die Farben siehst du sehr schön welche Maschen du für welchen tatsächlichen Strom brauchst.
- Strom durch R1 -> Maschenströme aus M1 und M3
- Strom durch R2 -> Maschenströme aus M2 und M3
- Strom durch R3 -> Maschenströme aus M3 und M4
- Strom durch R4 -> Maschenströme aus M1 und M2
- Strom durch R5 -> Maschenströme aus M1 und M4
Die Matrix kannst du je nach Bedarf 2x2 3x3 oder 4x4 aufstellen. Beim Berechnen der tatsächlichen Ströme aus den Maschenströmen auf die Vorzeichen achten!!!
Also ((R1 + R5) || R4) + (R2 || R3) ?