Kann mir jemand hierbei helfen (Mathe-Metrik)?
Was ist denn unklar?
Ich verstehe nicht, wieso das oben Abstände sind und unten Zahlen. Und die erste Regel sowie bei der 3. Regel was ich als z wählen soll.
2 Antworten
2. und 3. sind nur erfüllt, also keine Metrik.
Zu der Nachfrage: da o(x,y) ein reller Wert (nämlich der Abstand von x zu y bzw. y zu x) zuegordnet wird. Beispiele sind...
o(1,1)=0
o(1,2)=8
o(3,1)=9
o(2,3)=8
usw.
Das kannst du aus den beiden Matrizen oben ablesen und damit die Eigenschaften einer Metrik nachprüfen, um zu sehen, ob die Definition erfüllt ist oder nicht.
Die erste Eigenschaft ist zum Beispiel nicht erfüllt, da o(3,3)=8≠0 gilt.
Die Symmetrie ist erfüllt, da alle o(x,y) den selben Wert o(y,x) haben, also...
o(2,1)=8=o(1,2)
o(3,1)=9=o(1,3)
o(2,3)=8=o(2,3)
Die Abstände o(1,1), o(2,2) und o(3,3) sind natürlich gleich zu siche selbst.
Die Dreiecksungleichung ist erfüllt. Mache dir dafür klar, welche Komponenten in der Matrix für bekannte x und y addiert werden können und schließe die Möglichkeiten aus, wo die Ungleichung nicht erfüllt ist.
Beispiel:
o(3,1) = ≤ o(3,z) + o(z,1)
Das muss für z=1, z=2 und z=3 gelten.
o(3,z) kann nur Werte aus der dritten Zeile annhemen und o(z,1) nur Werte aus der ersten Spalte.
Wenn du dir die Matrix anschaust, siehst du, dass die Summe von jeweils zweit Komponenten der dritten Zeile und der ersten Spalte kleiner gleich o(3,1)=9 ist, außer einer der Summanden ist der aus der ersten Spalte ganz oben, nämlich o(1,1)=0.
Dass ist der Fall, wenn z=1 ist. Der erste Summand ist dann o(3,1)=9 und der zweite o(1,1)=0. Da der erste Summand aber 9 ist, ist auch dieser Fall größer gleich 9.
Die Gleichung oben ist also für jedes z erfüllt. Das musst du für jede Komponente prüfen o(x,y) prüfen.
rho ist hier eine Abbildung, die jedem Paar a, b aus E eine Reelle Zahl zuordnet. Die Matrix M enthält dabei die dazugehöriegen Funktionswerte von rho.
Du musst nun beurteilen, ob rho die drei Eigenschaften erfüllt, und somit, ob rho eine Metrik auf E ist.
Die 1. Eigenschaft bedeutet hier, dass rho(1,1) = rho(2,2) = rho(3,3) = 0 gelten muss, und sonst darf rho nicht 0 sein. Das gilt hier zum Beispiel nicht, da rho(3,3) = 8 gilt.
Für die Symmetrie musst du einfach schauen ob die Matrix Symmetrisch ist.
Und für die letzte Eigenschaft musst du schauen, ob diese Ungleichung für jedes tripel x,y,z gilt.
Muss ich bei der Dreiecksungleichung Zeile für Zeile betrachen oder Spalte für Spalte
Du musst alle möglichen Tripel Betrachten, also nicht nur eine Zeile oder nur eine Spalte.
Angenommen ich habe in einer Zeile 7; 8; 0 , dann ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, denn 8 > 7+0 oder ?
Du sollst drei Punkte aus E nehmen, nicht einfach 3 Einträge aus M.
Wenn du zum Beispiel x=1, y=2, z=3 nimmst, erhälst du
8= rho(1,2) <= rho(1,3)+rho(3,2) = 9+8
Danke, aber dann gibt es doch nur ein Beispiel? Bzw. reicht dieses Beispiel nicht aus?
Danke sehr! Kannst du vielleicht für die Dreiecksungleichung eine beliebige Beispielrechnung zeigen, weil ich das nicht so ganz nachvollziehen kann.