kann mir jemand bei dieser thermodynamik aufgabe helfen?
-ich bin mir grade sehr unsicher ob das system isochor oder isobar ist, ich tippe aber auf isochor weil der behälter ja nicht größer werden kann
-dann bin ich mir nicht sicher welche wärmekapazitäten jetzt für welche temperatur sind weil das auch nicht richtig aus der aufgabe hervor geht.
die lösung für a) ist t=922s und für b) Q12= 11483KJ
ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte vielen dank :)
T0=273,15K vermute ich...
4 Antworten
Das ist natürlich ein isochorer Prozeß, weil er in einem fixen Volumen von V=20 m³ stattfindet. Du sollst mit der elektrischen Heizung (P=15 kW bei einer Wärmeausbeute von η=83%) von T₁=300 K auf T₂=700 K aufheizen, und Du hast isobare Wärmekapazitäten cₚ₁=36.3 J mol¯¹ K¯¹ und cₚ₂=43.6 J mol¯¹ K¯¹ gegeben (die gehören zu den Temperaturen T₁ und T₂). Der Anfangsdruck ist p₁=10⁵ Pa.
Da nichts anderes dasteht, nehme ich an, wir sollen so tun, als ob das Gas ideal wäre. Dann können wir leicht die vorhandene Stoffmenge, n=p₁V/(RT₁)=802 mol berechnen und erhalten auch gleich den Enddruck p₂=nRT₂/V=p₁T₂/T₁=2.3⋅10⁵ Pa. Außerdem können wir die Wärmekapazitäten auf isochor umrechnen, da bei idealen Gasen cᵥ=cₚ−R und daher cᵥ₁=28.0 und cᵥ₂=35.3 J mol¯¹ K¯¹.
Das wird vermutlich nicht besonders genau werden, weil CO₂ bei Umgebungsbedingungen nicht weit vom kritischen Punkt entfernt liegt. Isochore Wärmekapazitäten habe ich bei Wikipedia für 288 K und 673 K gefunden; sie betragen 28.1 bzw. 35.5 J mol¯¹ K¯¹, das ist also gar nicht schlecht.
Bei der Wärmekapazität geht die Schluderei in eine neue Runde. Eigentlich müssen wir über die Wärmekapazität integrieren, aber da nur zwei Punkte gegeben sind, können wir nicht besser tun als den Mittelwert cᵥ=½(cᵥ₁+cᵥ₂)=31.6 J mol¯¹ K¯¹ nehmen. Theoretisch könnte man natürlich auch irgendeinen empirischen Kurvenverlauf nehmen, es steht ja nicht da, wie man vorgehen soll. Bei NIST finde ich sogar eine empirische Gleichung, aber irgendwie bin ich zu blöd, die richtig zum Laufen zu bringen (für T₂ kommt eine zu hohe Wärmekapazität heraus).
Die dazu theoretisch nötige Wärmemenge ist dann Q=ncᵥΔT=10.1 MJ. Unsere Wärmequelle liefert das unter Berücksichtigung der Verluste in t=Q/P/η=815 s.
Das stimmt nicht gut mit Deinen Ergebnissen überein, und ich nehme an, daß Du die Wärmekapazitäten besser modellieren sollst als ich mit meiner Nullten Näherung. Aber da ich nicht weiß, welche Methode Du verwenden sollst, kann ich dazu nicht mehr sagen.
ich habe es jetzt raus bekommen:
Ich habe erstmal die isochoren wärmekapazitäten über die formel Cp=R+Cv ausgerechnet. Das R konnte ich mit R=R*/M berechnen, wir haben eine Tabelle für M werte gegeben C= 12Kg/Kmol und O2= 32Kg/Kmol
Damit bin ich auf ein Cv(T0-T1)=27,99 gekommen und Cv(T0-T2)=35,29 gekommen.
dann habe ich meine spezifische wärmeenergie q01= Cv(T0-T1)*(300k-273,15K) berechnet
danach die q02=Cv(T0-T2)*(700K-273,15K)
dann q12=q02-q01= 14312KJ/kmol
danach habe ich mir über das ideale gas gesetz meine stoffmenge n=0,802kmol berechnet und für Q12=q12*n=11478KJ raus bekommen
und als letztest t=(Q12/0,83)/15KW=921,9s
Es ist schon spät in der Nacht und ich bin nicht mehr in der Lage, Deine Rechnungen nachzuvollziehen, Sie scheinen mir allerdings nicht plausibel.
Dann kannst du gerne morgen nochmal drüber schauen, und wenn etwas nicht plausibel sein sollte, würde ich mich freuen, darüber zu schreiben :)
Ich habe Probleme damit, die Einführung einer willkürlichen Temperatur T_0 nachzuvollziehen. Es sind nur 2 Zustände gegeben: T_1 = 300 K und T_2 = 700 K, Zu diesen gibt es die isobaren Wärmekapazitäten. Indianchinacook hat das m.E. doch sehr plausibel vorgerechnet. Gescheitert ist er an der empirischen Funktion von NIST vermutlich, weil beim Copy-paste hinterlegte Formatierungen die Rechnung vermasselt haben. Hier noch einmal die Funktionsgleichung und der Graph. Aufgetragen ist c_p als f(T/1000). Integriert wurde also von T = 300 K bis 700 K.
Die Temperatur T0 beträgt 273,15 K, da uns die gemittelten Wärmekapazitäten zwischen T0 bis T1 und T0 bis T2 interessieren. Wir konzentrieren uns jedoch auf die Wärmekapazität zwischen T1 und T2. Tatsächlich habe ich es ziemlich genau wie Hamburger02 gemacht. Er zieht ebenfalls von den Temperaturen T0 = 273,15 K ab und berechnet dann mithilfe der isochoren Wärmekapazitäten weiter.
...da uns die gemittelten Wärmekapazitäten zwischen T0 bis T1 und T0 bis T2 interessieren...
Genau das sehe ich nicht. Es interessieren die Werte zwischen T1 und T2 also von 300 K bis 700 K. Indianchinacook hat näherungsweise die Mittelwerte verwendet, ich habe das durch Integration über der empirischnn Funktionsgleichung gemacht.
Aber was bedeutet denn T₀? Wir erhitzen doch von T₁=300 K zu T₂=700 K, oder habe ich das mißverstanden?
wir haben in der aufgabe die gemittelte wärmekapazität von 273K bis 300K gegeben und die von 273K bis 700K ist das soweit verständlich? Sonst würde ich das nochmal anders erklären.
Wir könnten alles von zustand 1 bis 2 rechnen wenn wir die gemittelte wärmekapazität von 300K bis 700K hätten die haben wir aber leider nicht also müssen wir von den 300K und 700K jeweils 273K abziehen um diese zu bekommen also hätten wir dann folgendes da stehen: (35,29 * 427K - 27,99 * 27K) * 0,802 kJ = 11479 kJ
Die Vermutung hatte ich auch — aber wer zum Eff gibt Wärmekapazitäten so an, man kann sie ja problemlos an einer scharfen Temperatur angaben, es ist ja nur die Ableitung dQ/dT, oder man rechnet sie aus der Zustandssumme aus. Mittelung ist da nur eine Komplikation.
Das würde aber erklären, warum ich mit der Funktion bei NIST solche Probleme hatte, die gibt ja simple ungemittelte Wert cₚ(T) an, und es ist kein Wunder, daß sie nicht zur angegebenen Wärmekapazität cₚ₂ passen (bei cₚ₁ ist es egal, weil T₀≈T₁).
Andererseits habe ich da noch die cₚ-Tabelle bei Wikipedia, da steht ja explizit “43.81 J/(mol K) at 400 °C”, und da steht nichts von Mittelung, und trotzdem paßt es zu Deinem angegebenen Wert.
Meine Lösung wäre:
p * V = n * R * T
n = (0,1 * 10^6 N/m^2 * 20 m^3) / (8,314 J/molK * 300 K) = 801.9 mol = 0,802 kmol
cv1 = cp1 - R = 27,99 kJ/kmolK
cv2 = cp2 - R = 35,29 kJ/kmolK
∆U = (cv2 * t2 - cv1 * t1) * n = (35,29 * 427 - 27,99 * 27) * 0,802 kJ = 11479 kJ
Q_punkt = P * η = 15 kW * 0,83 = 12,45 kW
ΔU = Q_punkt * t
t = ΔU / Q_punkt = 11479 kJ kJ / 12,45 kJ/s = 922 s
Im Prinzip haben wir es ziemlich gleich gemacht, die Wärmekapazität sind aber anscheinend von T0-T1 und von T0-T2 gegeben und T0 ist bei uns immer 273,15K. Und deswegen habe ich einmal den Zustand q01und q02 ausgerechnet zieht man diese dann von einander ab bekommt man genau q12 raus. Und dann habe ich diese Energie noch durch 0,83 geteilt weil wir ja Energie an die Umgebung abgeben heißt also unsere heißspirale muss mehr Energie aufbringen, weil wir etwas verlieren und somit bin ich auf 922s gekommen
Dann muss ich nochmal nachrechnen....aaahhhhh blöder Fehler....da ja sich die Wärmekapazitäten auf den Nullpunkt 0 °C beziehen, darf ich nicht die absolute Temperatur, sondern muss die Celsiustemperatir einsetzen...ist halt schon über 30 Jahre her.
Damit:
∆U = (cv2 * t2 - cv1 * t1) * n = (35,29 * 427 - 27,99 * 27) * 0,802 kJ
= 11479 kJ
Der Rest sind Rundungsfehler...Aber ich denke, damit sollten die Fragen/Probleme gelöst sein.
Ich finde es großartig, wie Du das gelöst hast, aber ich verstehe es nicht.
ΔU = (cᵥ₂T₂−cᵥ₁T₁)⋅n = (35,29 * 427 - 27,99 * 27) * 0,802
Wie kommst Du von ΔU = n⋅∫cᵥ dT ≈ nc̃ᵥΔT auf Deine Gleichung? Und warum setzt Du für die Temperaturen die Differenzen T₁−T₀ bzw. T₂−T₀ ein, wobei T₀ zu keiner exerimentellen Größe korrespondiert, sondern willkürlich gewählt zu sein scheint?
Damit das funktioniert, mußt Du annehmen, die beiden angegebenen cₚ-Werte wären nicht die Wärmekapazität cₚ(T₁) bzw. cₚ(T₂), sondern Mittelwerte über das Intervall von T₀ (das gar nicht in der Angabe steht) bis T₁ bzw. T₂.
- Wer macht das so? Ist das eine etablierte Konvention?
- Warum macht man das so? Ich habe selbst jahrelang Wärmekapazitäten statistisch berechnet, bin aber die auf den Gedanken gekommen, sie über willkürliche Bereiche zu mitteln.
- Bei Wikipedia stehen Wärmekapazitäten für CO₂, die mit den in der Angabe genannten kompatibel sind. Allerdings steht da nichts von Mittelung dabei, geschweige denn von einer Referenztemperatur: “43.81 J/(mol K) at 400 °C”
Damit das funktioniert, mußt Du annehmen, die beiden angegebenen cₚ-Werte wären nicht die Wärmekapazität cₚ(T₁) bzw. cₚ(T₂), sondern Mittelwerte über das Intervall von T₀ (das gar nicht in der Angabe steht) bis T₁ bzw. T₂.
Korrekt. Diese durch sehr exakte kalorimetrischen Versuche ermittelten Wärmekapazitäten entsprechen der Steigung der Sekante von To = 0°C zu der jeweiligen oberen Temperatur.
Wer macht das so? Ist das eine etablierte Konvention?
Das machen die Praktiker der Thermodynamik so, weil man damit mit wenig Rechnerei dennoch zu sehr genauen Ergebnissen kommt. Das machen alle so, die in der klassischen (der phänomenologischen) Thermodynamik zu Hause sind. Das Integrieren von so komplizierten Kurven wie die der Wärmekapazität ist einem Ingenieur nicht zuzumuten. Das Verfahren geht auf DEN Thermodynamikpapst schlechthin, H. D. Baehr, zurück und ist state of the art.
Warum macht man das so?
Weil es mit wenig Aufwand sehr exakte Ergebnisse liefert.
Ich habe selbst jahrelang Wärmekapazitäten statistisch berechnet,
Klar, mit Hilfe der Quantenmechanik und der statistischen Thermodynamik kann man das auch machen. Das ist was für theoretische Physiker zur geistigen Selbstbefriedigung. Baehr pflegte in solchen Fällen in der Vorlesung sinngemäß zu sagen: "mit sowas verschwenden wir nicht unsere Zeit. Da nehmen wir uns einen Mathematiker. Die stehen an jeder Ecke rum und warten nur drauf, dass sie mal was sinnvolles machen dürfen. Als Ingenieure kümmern wir uns derweil um die echten Probleme."
bin aber die auf den Gedanken gekommen, sie über willkürliche Bereiche zu mitteln.
Das Verfahren ist in "Thermodynamik" von H. D. Baehr nachzulesen. Die Tafeln hat Baehr 1968 veröffentlicht:
Baehr, H. D. u.a., Thermodynamische Funktionen idealer Gase für Temperaturen bis 6000 °K. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1968.
Allerdings steht da nichts von Mittelung dabei, geschweige denn von einer Referenztemperatur: “43.81 J/(mol K) at 400 °C”
Das ist in "Thermodynamik" von Baehr im Detail nachzulesen. Hieraus habe ich hier zitiert:
Vielen Dank. Theoretiker und Praktiker leben eben wirklich in ganz anderen Welten.
Jetzt wird mir auch klar, warum ich einmal einem Praktiker eine Stunde lang am Telephon aufdröseln mußte, was die Angaben in einer Thermochemie-Tabelle (JANAF) bedeuten. Der war offenbar etwas ganz anderes gewöhnt.
Theoretiker und Praktiker leben eben wirklich in ganz anderen Welten.
So ist es. Das habe ich auch schon festgestellt, wenn ich auf dem Flugplatz aus Sicht der klassischen Themrodynamik mit Doktoren der Physik (d9e es da reichlich gibt) zufällig mal über Thermodynamik diskutiere und die das ganze aus Sicht der statistischen Thermodynamik betrachten, von der ich überhaupt keine Ahnung habe, denen dagegen die praktischen Anwendungen irgendwie nicht viel sagen.
Ich merke das manchmal auch, wenn ich deine Beiträge lese und mir denken, wovon redet der überhaupt? Das habe ich ja noch nie gehört.
Isochor. Das ist ja ein festes Volumen. Was das für Temperaturbereiche sein sollen weiß ich auch nicht.
Es ist nur ein Volumen vorhanden. Also isochor.
Adiabatisch und isotherm kann es schon mal nicht sein. Höchstens polytrop, das "komplizierteste Zwischending".
Mit dieser Aufgabe hatte ich mich auch beschäftigt, kam aber letztlich nicht zu Potte. Die Integration der empirischen Funktion aus den thermodynamischen Daten von NIST liefert bei Wolframalpha 17,7 J/mol. Wenn ich das durch 400 K/1000 dividiere, lande ich für cp bei 44,25 J/(mol * K). cv = cP - R liefert dann letztlich:
t = 927 s