Kann mir jemand bei dieser Matheolympiade Aufgabe helfen aus 2011?
Wo genau hast Du denn ein Problem? Was hast Du schon gerechnet?
Beweisen sie, dass das Dreieck rechteckig ist. Bei den anderen weiß ich schon warum das so ist, aber ich weiß nicht wie man das so genau aufschreibt.
1 Antwort
Weil |AC| < |BC| ist, liegt Q so, dass A zwischen Q und B liegt. (also von B aus gesehen hinter A)
Um die Winkel benennen zu können, führe ich einen Punkt D auf der Geraden BC ein, so dass C zwischen B und D liegt. (also von B aus gesehen hinter C) Wo D genau liegt, ist egal.
Spätestens jetzt ist eine Skizze von Vorteil.
a)
Es ist Winkel DCQ = QCA.
Und ACP = PCB.
Und DCQ + QCA + ACP + PCB = 180°.
Daraus folgt QCA + ACP = 90° und damit QCP = 90°.
Das Dreieck XPC hat den Innenwinkel ACP und einen rechten Winkel.
Das Dreieck PYC hat den Innenwinkel PCB = ACP und einen rechten.
Außerdem haben sie die gleiche Seite PC, also sind sie kongruent. Damit ist auch |PX| = |PY|.
b)
AP und PB sind sind Grundseiten zweier Dreiecke mit gleicher Höhe (Lot von C auf AB).
Damit ist das Verhältnis der Flächeninhalte von APC und PCB gleich dem Verhältnis der Grundseiten AP und PB.
c)
Man kann auch AC und CB als Grundseiten betrachten, denn die Höhen XP und YP sind gleich. Damit ist das Verhältnis AP : PB gleich dem Verhältnis AC : CB.
d)
Hier habe ich leider noch keine brauchbare Idee 😞.
Wenn das zur Vorbereitung für Mittwoch dient, wünsche ich Dir viel Erfolg am Mittwoch.
(Auch wenn ich Dir bei d) nicht helfen konnte.)