Matheolympiade 631213?
hallo, ich bin gerade sehr am verzweifeln an der letzten Matheolympiadeaufgabe. ich verstehe gar nicht, wie man da ran gehen kann. ich habe doch in den Dreiecken immer nur einen Winkel gegeben.
3 Antworten
Das ist aber eine schöne Aufgabe...
1) Im vorliegenden Beispiel kann man den Winkel einfach mit dem Geodreieck messen und da kommen 135° raus. Das steht ja, man solle ihn ermitteln, wodurch die Methode frei wählbar ist. Da steht nichts davon, dass man rechnen muss.
2) Nun muss man überprüfen, ob sich der Winkel ändert, wenn sich die Größenverhältnisse zwischen den beiden großen und dem kleinen Quadrat ändern. Das habe ich mit dem roten verkleinerten Quadrat gemacht und wieder 135° gemessen.
Da liegt also der Verdacht nahe, dass der Winkel unabhängig von den Größenverhältnissen ist.
3) Nun überrüfe ich, ob die Messung exakt ist. Dazu führe ich das ganze in die Grenzlage, was übrigens eine beliebte Methode bei Mathematikern und Ingenieuren ist. Dazu lasse ich das Quadrat ABHI auf den Punkt B schrumpfen und zeichne die beiden Linien ein (blau). Nun ergänze ich mit der grünen Linie das ganze zu einem rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel FBC beträgt dann 45°.
Der Gegenwinkel ASD muss dann betragen: 180° - 45° = 135°.
Ergebnis:
Der Winkel ASD beträgt exakt 135°
Oft mache ich solche etwas kniffligen Aufgaben nur zur geistigen Selbstbefriedigung, einfach weil ich Spass daran habe.
steht ja auch oben drüber : Das ist aber eine schöne Aufgabe.
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ob man bei neuen MOly helfen soll ( vor allem wenn man wie ich sie anhand der Zählnummer gar nicht erkennen kann ) , das streiten sich die Geister.
Und geistige Selbstbefriedigung wird aus pychohygienischen Gründen zur Erhaltung der Gesundheit von Seele und Körper von jedem guten Arzt empfohlen .
OK - ich bin ähnlich vorgegangen und (per Logik) vorausgesetzt, dass die Größe der Quadrate keine Rolle spielt. Für den Sonderfall von 3 GLEICHEN Quadraten kommt man dann über die Seitenverhältnisse und die tan-Funktion schnell auf die beiden Teilwinkel, deren Summe 135 Grad ergibt.
Das kann man auch rechnerisch durch eine Grenzbetrachtung zeigen:
Wenn das kleine Quadrat die Seitenlänge y und das große Quadrat die Seitenlänge x hat, gilt für das Dreieck ADS:
tan(α) = x / (x + y) ; tan(β) = y / (y + 2 * x)
Winkel γ über die Winkelsumme berechnet:
γ = 180° - (arctan(x / (x + y)) + arctan(y / (y + 2 * x)))
Grenzbetrachtung:
lim(x→0) (arctan(x / (x + y)) + arctan(y / (y + 2 * x))) = 45°
lim(y→0) (arctan(x / (x + y)) + arctan(y / (y + 2 * x))) = 45°
Folglich ist γ = 135°
Ich verstehe nicht, was bei deiner Rechnung los ist…kannst du sie nochmal erklären? Zum Beispiel warum die Grenzwerte (limes) so wichtig sind oder warum du aus tangens Arcustangens gemacht hast.
Interessant ist natürlich die Frage, WARUM eine derartige Grenzwertbetrachtung zum richtigen Ergebnis führt....oder anders formuliert: WARUM ist die Antwort unabhängig von der Größe (bzw. vom Größenunterschied) der Quadrate?
Antwort: Nachweis möglich über Theorem zum Tangens:
tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)] / [1-tan(a)*tan(b)]
Ich komme auf 135 Grad.
PS: Hier geht es weniger um das (sture) Anwenden von Formeln, sondern primär um logisches Denken! Dann ist es ganz einfach!
aktuelle frage , immer die Frage : Helfeich oder helfich nicht