Kann jemand diese Extremwertaufgabe lösen? Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll?
2 Antworten
[Bemerkung: Die Aufgabe ergibt so von den Einheiten her keinen Sinn. Wenn k bereits die Längeneinheit beinhaltet wäre αk beispielsweise von den Einheiten her ein Flächenmaß. Wenn k die Längeneinheit nicht beeinhaltet, ergibt wäre die in der Skizze mit k angegebene Korridorbreite dimensionslos, und auch die Angabe beim Ergebnis mit „k = ... LE“ würde dann nicht dazu passen.]
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Zunächst einmal habe ich ein paar Bezeichnungen ergänzt, damit ich besser beschreiben kann, was ich meine...
Die Gesamtlänge aller Wände soll 462 Längeneinheiten betragen. Also...
Für den Flächeninhalt der drei übrigen Zimmer (neben dem Korridor) erhält man zusammen...
Mit α = 6 und β =3 eingesetzt und etwas vereinfach erhält man dann...
Als entsprechende Zielfunktion kann man dann...
angeben.
Damit erhält man dann als gesuchtes Ergebnis...
Ja, da hast du recht. Das habe ich wohl übersehen. Ich werde das gleich noch in der Antwort ausbessern.
Hallo,
nenne die Wand rechts x.
Dann hast Du drei Wände der Länge x, zwei Wände der Länge 9k, eine Wand der Länge 6k und eine Wand der Länge x-k.
Daraus ergibt sich die Nebenbedingung 4x+23k=462.
Die Fläche der anderen Räume muß maximiert werden. Es gilt:
F=6k*(x-k)+3kx.
Nebenbedingung nach x auflösen, Ausdruck für x in die Zielfunktion einsetzen, nach k ableiten, Ableitung gleich Null setzen und nach k auflösen.
Herzliche Grüße,
Willy
Hey,
alles verständlich bis auf diesen Term hier F=6k*(x-k)+3kx.
Wie bist du auf den gekommen? Kannst du mir das erklären? Wäre Mega nett danke
Die Wand, die die beiden Zimmer auf der linken Seite voneinander trennt, ist x-k Einheiten lang.
Somit ist die Gesamtfläche dieser beiden Zimmer 6k*(x-k), während die Fläche des großen Zimmers rechts 3k*x, also 3kx ist.
Zielfunktion ist die Gesamtfläche 6k*(x-k)+3kx, also 9kx-6k².
Wenn Du nun die Nebenbedingung nach x auflöst, also x=(462-23k)/4 und diesen Ausdruck für x in die Zielfunktion einsetzt, ist diese nur noch von k abhängig.
Du kannst auch mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten und partiell ableiten, wenn Dir dieses Verfahren bekannt ist. Du bekommst dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten und kommst so auch auf das Ergebnis k=9.
Problem ist nur meine ZF soll in der Form f(x) sein und nicht f(k) :/
Ist doch egal. Dann löst Du nach k auf und setzt diesen Ausdruck dann für k in die Zielfunktion ein. k=(462-4x)/23. Andersherum hättest Du x einfach aus der Bestimmungsgleichung für x bestimmt, nachdem k bekannt war.
Hast du zufällig auch nen plan von Differenzierbarkeit und willst dir meine vorletzte Frage angucken? Komme da nämlich auch nicht weiter
Grundsätzlich ist es egal, ob die Zielfunktion am Ende noch von k oder von x abhängig ist, denn wenn Du einen der beiden Werte hast, kannst Du sofort den anderen bestimmen. Ich habe als Zielfunktion f(k;x) beibehalten und das Ganze durch partielles Ableiten gelöst.Da muß dann aber noch ein Faktor lambda eingeführt werden müssen, der vor die Nebenbedingung kommt. Sieh Dir mal Seiten zu dem Lagrange-Multiplikator an. Macht Spaß, damit zu arbeiten. Vor allem gelingen dann auch Extremwertaufgaben, die von mehr als nur von zwei Parametern abhängig sind.
An der Knickstelle der Betragsfunktion kannst Du nicht differenzieren und an den Fugenstellen der unterschiedlichen Funktionen, falls diese nicht nahtlos ineinander übergehen.
Wie kommst du auf k = 9? Irgendwas muss ich falsch machen. Ich komme hier völlig durcheinander weil ich es die ganze Zeit probiere für f(x) statt f(k)
Ich hatte beim ersten Mal auch etwas Krummes heraus. Beim Nachrechnen kam ich dann auf k=9 - und zwar mit zwei unterschiedlichen Methoden. Du mußt bei den Brüchen aufpassen. Nimm zur Sicherheit einen Rechner.
Komme nichtmal auf die ZF. Wenn ich die NB in F=6k*(x-k)+3kx einsetze kriege ich krumme Werte
Ja, zwischendurch wird's etwas krumm; aber am Ende kommt ganz brav k=9 LE heraus.
Kannst du mir mal deine HB, NB und ZF geben? Ich komme da nicht drauf. Versuche es die ganze Zeit mit den Gleichungen von oben aber es wird nichts
Kannst du mir mal deine HB, NB und ZF geben? Ich komme da nicht drauf. Versuche es die ganze Zeit mit den Gleichungen von oben aber es wird nichts
Hast Du daran gedacht, daß der Korridor nicht zur Fläche der Zimmer gehört?
Maximiert werden soll lediglich die Fläche des Zimmers rechts und der beiden Zimmer links, die an den Korridor angrenzen.
Ich habe die Wand rechts x genannt. Sie ist genausolang wie die Wand links und die linke Wand des rechten Zimmers.
So hast Du drei Wände der Länge x. Die Wände oben und unten haben jeweils die Länge 9k. Bleibt nur noch die Trennwand der beiden Zimmer links. Die wird umso kürzer, je größer k wird; ihre Länge beträgt x-k.
Dann ist da noch die Wand, die den Korridor von den beiden Zimmern trennt. Sie ist 6k Einheiten lang.
Das macht zusammen 3x+2*9k+6k+x-k, also 23k+4x. Da diese zusammen 462 LE ergeben sollen, ergibt sich hieraus die NB 23k+4x=462.
Nach k aufgelöst: k=(462-4x)/23.
Nun zur Flächenfunktion.
Die beiden Zimmer links kannst Du wie eins betrachten, denn sie ändern sich bei Änderung von k auf die gleiche Weise. Die Fläche ist 6k*(x-k).
Das Zimmer rechts hat 3k*x.
Macht zusammen 6k*(x-k)+3kx=6kx-6k²+3kx=9kx-6k².
Das ist die Zielfunktion, die noch von k und x abhängig ist. Da k=(462-4x)/23, und das für k in die Zielfunktion einsetzt (völlig bescheuert; die Zielfunktion von k abhängig zu machen ist wesentlich einfacher), bekommst Du
f(x)=9x*(462-4x)/23-6*[(462-4x)/23]²=(9/23)x*(462-4x)-(6/529)*(462-4x)².
Das abzuleiten macht nicht wirklich Spaß und müßte nicht sein, wenn man mit Lagrange arbeitet oder einfach alles von k abhängig macht.
Egal, die Ableitung lautet f'(x)=(9/23)*(462-4x)-(36/23)x+(48/529)*(462-4x).
Alles zusammenfassen (darfst Du selbst machen) und nach x auflösen ergibt x=63,75. Setz den Wert in die Ableitung ein, dann siehst Du, daß diese hier eine Nullstelle hat.
Eingesetzt in k=(462-4x)/23 ergibt das k=9.
Man kann es sich eben auch unnötig schwer machen. Echte Mathematik dagegen sucht immer den bequemsten Weg, denn Mathematiker sind von Natur aus faul.
Eine Frage hätte ich aber noch. Ich habe alles wie du bei der Flächenberechnung nur stellt sich mir die Frage bei folgendem: für ganz rechts 3k*x dann für das links unten 6k*k (das hast du weggelassen aber warum. Das verstehe ich irgendwie nicht.) und dann noch für das oben links 6k * (x-k). Und dann alle drei zusammenrechnen.
Kannst du mir bitte erklären wieso du das unten links weggelassen hast oder wo liegt mein Denkfehler
Der Korridor hat doch die Länge 6k und die Breite k. Ergibt als Fläche 6k².
Dessen Fläche soll aber nicht in die Maximierung einfließen, daher taucht in der Zielfunktion -6k² auf. x-k ist die Länge der Trennwand, weil von der Gesamtlänge x die Länge k abgezogen werden muß.
x ist bei mir die Länge der gesamten rechten Wand, nicht nur die Länge der Trennwand zwischen den beiden kleinen Zimmern.
Ja habe ich alles verstanden. Also soll sozusagen dass Rechteck unten links in die Berechnung nicht mit einfließen. Sorry dass ich nochmal frage aber wie hast du das erkannt, dass man den Flächeninhalt unten links einfach weglassen kann.
Also wird sozusagen nur der Flächeninhalt von 3k*x und 6k*(x-k) berechnet?
Steht doch in der Aufgabe. Bei welcher Breite des Korridors ist der Flächeninhalt der übrigen Zimmer am größten? Die übrigen Zimmer sind die, die nicht der Korridor sind.
Ja ich weiß. War mir nur unsicher ob man den einfach weglassen kann, weil sonst hätte man ja gar nicht den gesamten Flächeninhalt von dem gesamten Rechteck gehabt.
Aber die anderen müssen ja maximal werden. Danke für die Erklärung.
Der Korridor ist natürlich trotzdem wichtig, weil seine Breite zum einen der einzige Schalter ist, an dem man den Grundriß verändern kann, zum anderen, weil die Längen seiner Wände in die Nebenbedingung einfließen.
Für eine Extremwertaufgabe an einer Schule ist diese schon recht aufwendig, wenn man die Zielfunktion von x abhängig machen soll.
Ist die Aufgabe von unserer Uni Weimar. Hab’s jetzt aber komplett verstanden. Hat zwar gedauert aber war eine perfekte Auffrischung. Danke für Spitzenerklärung. Mega!
Hab gesehen du hast auch auf meine andere Frage geantwortet bzgl Differenzierbarkeit. Wenn du Lust und Laune hast und da auch so ein Experte bist kannst du es mir ja gerne versuchen zu erklären. Tausenddank
Für die Uni. Ok, das erklärt einiges. Dann solltet Ihr lernen, auch mit unübersichtlichen Termen umzugehen, deswegen Z(x).
Ja geht jetzt erst richtig los mit Funktionen bei uns. Letztes Semester war Lineare Algebra jetzt Analysis. Aber geht jetzt erst mit Funktionen los.
Danke. Wie gesagt wenn du Lust hast kannst du dir ja meine Frage zur Differenzierbarkeit angucken.
Hab’s gerade gesehen. Habe darauf etwas geantwortet :)
Muss PD (=s+k) nicht zur Gesamtlänge?