Parabel Gleichung mithilfe von Punkten bestimmen.Wie geht das?
Hallo, ich lerne gerade für meine Mathearbeit und bin jetzt auf diese Aufgabe hier gestoßen und ich habe keine Ahnung wie ich das lösen soll. könnte mir dabei jemand vielleicht helfen?
2 Antworten
a)
f(x) = a*(x - Sx)² + Sy = a*(x - 4)² + 3
f(6) = a*(6 - 4)² + 3 = 7 --> a = 1
b)
f(x) = ax² + bx + c
Q: f(0) = c = -1
P: f(-2) = 4a - 2b - 1 = 1
R: f(4) = 16a + 4b - 1 = 31
Daraus folgt a = 3/2, b = 2
c)
f(x) = a*(x-0)*(x+4) = a*(x² + 4x)
f'(x) = 2ax + 4*a
f'(x) = 0 für x = -2
f(-2) = a*(4 - 8) = -4a. Das soll -4 ergeben --> a = 1
In allen drei Fällen ist die Aufstellung der Gleichung einer Parabel in ihrer allgemeinsten Form verlangt. Das bedeutet, dass du für die Gleichung
die Koeffizienten a, b, c bestimmen musst. Je nach Aufgabe benötigtst du aber unterschiedliche Ansätze.
Teilaufgabe a:
Die Scheitelpunktform der allgemeinen Parabel lautet:
wobei (xS, yS) die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
Setze zunächst die Koordinaten des Scheitelpunkts ein. Du erhältst eine Gleichung, in der neben den Variablen x und y noch der unbekannte Koeffizient a vorkommt. Um den Koeffizienten a zu berechnen, setzt du in einem zweiten Rechenschritt für x und y die Koordinaten des zweiten gegebenen Punkts P(6/7) ein. Du erhältst eine lineare Gleichung, in der a die Unbekannte ist. Berechne den Wert von a und setze den erhaltenen Wert in die im ersten Rechenschritt aufgestellte Scheitelpunktform der Parabelgleichung ein. Die erhaltene Gleichung ist die Lösung. WEnn du magst, kannst du sie durch geeignete Umformungen noch auf die Normalform bringen.
Teilaufgabe b:
Die Parabel ist durch drei Punkte gegeben. Hier musst du ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten aufstellen und lösen. Um das Gleichungssystem aufzustellen, sdetzt zu nacheinander die Koordinaten jedes der gegebenen Punkte in die allgeimene Form der Parabelgleichung ein. Jeder Einsetzungsschritt liefert dir eine weitere Gleichung des Gleichungssystems. Die Unbekannten des Gleichungssystems sind die Koeffizienten a, b, c der Parabelgleichung.
Teilaufgabe c:
Da die Nullstellen der Parabel gegeben sind, gehst du von dieser Produktform der Parabelgleichung aus:
Einsetzen der Nullstellen liefert
Hier solltest du die rechte Seite vereinfachen und ausmultiplizieren.
Um den Wert der verbliebenen Unbekannten a zu bestimmen, brauchst du einen weiteren Punkt, dessen Koordinaten du in die erhaltene Gleichung einsetzen musst. Die hast diesen Punkt als kleinsten Funktionswert gegeben. Die y-Koordinate ist angegeben, die x-Koordinate musst dudir selbst überlegen. Dazu musst du unbedingt wissen, dass bei einer nach oben geöffneten Parabel die x-Koordinate des kleinsten Funktionswert genau zwischen den beiden reellen Nullstellen liegt: Hier also bei -2. Setze also den Punkt (-2/-4) in die erhaltene Gleichung ein und löse nach a auf. Setze sodann den erhaltenen Wert von a in die Parabelgleichung ein.