Hey, untersucht man eine Funktion auf Monotonie schrittweise?
Hey, wie funktioniert dies Schritt für Schritt?
Vielen Dank.
1 Antwort
Du schaust, ob gilt, dass
f(x) > f(y) für x > y (streng mon. steigend),
f(x) < f(y) für x > y (streng mon. fallend),
f(x) ≥ f(y) für x > y (mon. steigend) oder
f(x) ≤ f(y) für x > y (mon. fallend).
In der Regel ist es eines der ersten beiden genannten Fällen.
Bsp.: Untersuche f(x) = x² auf Monotonie.
Wir nehmen an, dass x > y ≥ 0, es gibt also ein r > 0 mit x = y + r, dann ist f streng monoton steigend, denn
f(x) > f(y)
x² > y²
(y + r)² > y²
y² + 2 r y + r² > y²
2 r y + r² > 0
was wegen y ≥ 0 und r > 0 wahr ist.
Für 0 ≥ x > y, es gibt also ein d < 0 mit y = x + d, ist f streng monoton fallend, denn
f(x) < f(y)
x² < y²
x² < (x + d)²
x² < x² + 2 x d + d²
0 < 2 x d + d²
Da x ≤ 0 und d < 0, ist der erste Summand nichtnegativ und der zweite positiv (Minus mal Minus ergibt Plus), also ist auch das wahr.
Alternativ kannst du auch die erste Ableitung betrachten. Es gibt auch hier die vier Fälle
f(x) > 0 für alle x (streng mon. steigend),
f(x) < 0 für alle x (streng mon. fallend),
f(x) ≥ 0 für alle x (mon. steigend) und
f(x) ≤ 0 für alle (mon. fallend).
Bsp.: Untersuche f(x) = x² auf Monotonie.
f'(x) = 2 x
Wenn x > 0 ist f'(x) > 0 für alle x > 0, also ist f streng monoton steigend. Das können wir auf x ≥ 0 erweitern, da f(0) < f(x), falls x > 0. Demnach ist f für x ≥ 0 streng monoton steigend.
Wenn x < 0, dann ist f'(x) < 0 für alle x < 0, also ist f streng monoton fallend. Das können wir auch hier auf x ≤ 0 erweitern, da f(x) > f(0), falls x < 0. Demnach ist f für x ≤ 0 streng monoton fallend.
Das kannst du auch mittels einer Monotonietabelle darstellen (siehe YouTube). Analog kannst du für die Krümmung vorgehen (Krümmungstabelle).