Hey, könnte mir eventuell jemand bei der Berechnung eines Wendepunkts weiterhelfen?
Hey, ich sollte den Wendepunkt von der Funktion „f(x)=-x^(5)-x“ berechnen. Ich habe nun die zweite Ableitung gebildet und Null gesetzt. X beträgt hierbei 0, was ein Zeichen für einen Wendepunkt ist. Anschließend habe habe ich die dritte Ableitung gebildet, um zu schauen, ob diese dann ungleich Null ist, was ein notwendiger Hinweis für ein Wendepunkt wäre. Mein Problem ist nun, dass bei der dritten Ableitung aber nicht ungleich Null herauskommt, sondern genau Null. Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank.
2 Antworten
Mein Problem ist nun, dass bei der dritten Ableitung aber nicht ungleich Null herauskommt, sondern genau Null. Wo liegt mein Fehler?
Das ist kein Fehler, das kann tatsächlich vorkommen. Dann muss man das Vorzeichenwechselkriterium anwenden, indem man einen Wert vor und nach dem vermuteten WP in die 2. Ableitung einsetzt. Diese Prüfwerte wählen wir aber so, dass es möglichst bequem wird.
vermuteter WP bei x = 0.
f"= -20x^3
f"(-1) = -20 * (-1) = 20
f"(1) = -20 * 1 = -20
Die Krümmung wechselt und daher ist x =0 tatsächlich ein WP.
Genau so ist es.
Beispiel:
f(x) = x^4 + x
f' = 4x^3 + 1
f" = 12x^2
f(0) = 0...Wendepunkt?
Vorzeichenwechselkriterium:
f"(-1) = 12
f"(1) = 12
...kein Wendepunkt.
Das ist tatsächlich möglich. Du musst das Vorzeichen Kriterium nun erfüllen. Wendepunkt bedeutet, HP/TP der 1. Ableitimg und somit Steigung. Um zu wissen ob es eine links rechts oder rechts links Veränderung handelt: setze ein x Wert nach dem x des Wendepunkts ein und stelle fest: entweder + 0(wegen des Wendepunkts) - oder - 0 +. Ist es erst + dann 0 dann - heißt es ja, dass die Steigung (die erste Ableitung) erst positiv ist, dann 0 und dann negativ, andersherum eben erst negativ, 0 und positiv. Von dort aus musst du nun bestimmen: wenn die Steigung der 1. erst positiv ist, 0, dann negativ, bedeutet es für die erste Funktion: steigt, Wp, flacht ab. Oder eben dann: Steigung der 1. Ableitung sinkt erst, flacht auf Steigung =0 ab und steigt dann, bedeutet es: Graph wird immer flacher, WP und dann steigt es wieder.
Übersetzt: TP bei der 1. Ableitung rechts zu links
HP bei der 1. Ableitung: links zu rechts
Also: wenn vor dem x Wert des WP - und danach + ist, gilt: TP der ersten Ableitung.
Und dann eben auch andersherum -/Wp/+ : HP der 1. Ableitung
Okay, wenn bei dem Einsetzen in die zweite Ableitung kein Vorzeichenwechsel vorliegt (beide ein Plus oder beides ein Minus bei dem Ergebnis), dann liegt dort kein Wendepunkt vor?