Kann es sein das bei einem Wendepunkt einer Funktion die dritte Ableitung 0 ist?
Die Bedingung für einen Wendepunkt sind ja: -zweite ableitung 0 -dritte ableitung ungleich 0
was soll das mit der dritten ableitung heißen? was wen die mal doch 0 ist?
5 Antworten
Es sind ja bereits zwei unterschiedliche Kriterien genannt worden, mit denen Du feststellen kannst, ob tatsächlich an einer Stelle xw eine Wendestelle vorliegt: der Grad derjenigen Ableitung, die zum ersten Mal bei x = xw ungleich null wird, und das Vorzeichenwechselkriterium.
Aus meiner Sicht spricht sehr viel für das VZW-Kriterium. Warum?
Was ist eine Wendestelle? Das ist eine Stelle, an der sich das Krümmungsverhalten eines Graphen ändert, wo der Graph also von einer Links- in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt.
Die Art der Krümmung kannst Du mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen: gilt f´´(x0) > 0, dann ist der Graph an der Stelle x0 linksgekrümmt, für f´´(x0) < 0 ist der Graph rechtsgekrümmt.
Wenn also die zweite Ableitung (knapp) links und rechts von einer möglichen Wendestelle (d.h. Nullstelle von f´´) unterschiedliche Vorzeichen der Ableitung aufweist, muss er bei xw sein Krümmungsverhalten geändert haben => Wendestelle.
Ich finde dieses Kriterium sehr anschaulich, ähnlich wie den VZW der ersten Ableitung, der eine relative Extremstelle verrät.
Zudem hat dieses Kriterium den Vorteil, dass ich nicht erst diverse weitere Ableitungen bilden muss, um endlich auf eine zu stoßen, die an der Stelle xw einen Wert ungleich null annimmt. (Ableitungen bilden kann je nach Funktionstyp sehr aufwändig sein.)
Und: Der VZW der zweiten Ableitung ist absolut zuverlässig, denn er ist sowohl ein notwendiges als auch ein hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle.
Ja, das kann sein.
Hierzu ein Beispiel: f(x) = x^5
Es ist
f '(x) = 5x^4,
f ''(x) = 20x³,
f '''(x) = 60x².
Weiter ist f ''(x) = 0 für x = 0 erfüllt.
Setzt man x = 0 in die dritte Ableitung ein, dann ergibt sich f '''(0) = 0. Die hinreichende Bedingung f '''(x) ungleich 0 ist also nicht erfüllt. Dennoch ist x = 0 eine Wendestelle, denn es ist
f ''(-1) = -20 < 0 und f ''(1) = 20 > 0. Folglich gibt es einen Vorzeichenwechsel in der Umgebung von x = 0 bei der zweiten Ableitung.
W(0 | 0) ist Wendepunkt des Graphen von f mit f(x) = x^5.
Man kann dies zweifelsfrei mit dem Satz von Taylor feststellen. Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus: Ist f beliebig oft an der Stelle x differenzierbar, dann hat f an der Stelle x genau dann eine Wendestelle, wenn gilt:
1) f''(x) = 0 (Dies ist die notwendige Bedingung)
2) Man untersucht nun ab der dritten Ableitung alle weiteren Ableitungen n, bis man fn(x) <> 0 gefunden hat. Ist n ungerade, ist es ein Wendepunkt, ist n gerade, dann ist es keine Wendepunkt.
Beispiel: f(x) = x^5.
=> f'''(x) = 20 * x^3. Hier x = 0
f'''(0) = 60 * x^2 = 0 -> weitersuchen
f''''(0) = 120 * x = 0 -> weitersuchen
f'''''(0) = 120 <> 0, Ende, Ableitung n = 5 ist ungerade, also Wendepunkt.
Ja, das ist möglich, dann nämlich, wenn bei einer n-mal differenzierbaren Funktion folgendes gilt -->
f´´(x _ 0) = f´´´(x _ 0) = ... = f (n-1) (x _ 0) = 0
und
f (n) (x _ 0) ≠ 0
Dann liegt an der Stelle x _ 0 genau dann ein Wendepunkt vor, wenn n ungerade ist.
Dann gibt es noch einen zweiten (deutlich komplizierteren) weg um eine wendestellen fest zustellen und zwar war es glaube ich ein Vorzeichen Wechsel bei der 2. Ableitung aber bin mir nicht ganz sicher