zweite dritte Ableitung gleich 0?
Hallo liebe Community, noch einmal zum Verständnis: um herauszufinden, ob die Funktion links oder rechts gekrümmt ist, muss man die dritte Ableitung verwenden oder? Und was passiert wenn man bei der Berechnung von Wendepunkten/ Extremstellen sieht, dass die dritte/ zweite Ableitung gleich 0 ist. Was soll man dann machen? Danke schon einmal im voraus!
3 Antworten
Ich finde das Vorzeichenwechselkriterium viel anschaulicher:
Bsp.; ist f' = 0 prüft man, ob davor oder dahinter, ob das Vorzeichen wechselt weiß man sicher, ob Sattelpunkt oder Extremum vorliegt. Außerdem hat man ggf. die (einleuchtende!) Information, ob min oder max : f' >0 -> Hier gehts aufwärts, f' < 0 -> Hier gehts abwärts.
Zur Krümmung: f'' gibt die Veränderung der Steigung f' an!
Also: f'' > 0 -> hier nimmt die Steigung zu -> linksgekrümmt usw.
ist die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung auch, hast Du einen Wendepunkt (Sattelpunkt). Ist die dritte immer noch Null, musst Du solange weiter ableiten, bis die Ableitung für diese Wendestelle ungleich Null ist.
Beispiel: f(x)=x^8-2*x^5
Hier musst Du eigentlich 5-mal ableiten, damit für x=0 eine Lösung ungleich Null rauskommt, und Du somit die Krümmung ermitteln kannst.
Also:
Berechnung Extremstellen:
Du setzt die erste Ableitung gleich null (f' (x) = 0)
Dann setzt du die Zahlen, die du dabei rausbekommen hast in die 2. Ableitung ein (f'' (z. B. 4) = ...)
Wenn das Ergebnis was da dann rauskommt, größer als Null ist, hast du einen Tiefpunkt und wenn das Ergebnis kleiner als Null ist, hast du deinen Hochpunkt.
Willst du nun noch die Koordinaten von deinen Tief- / Hochpunkten wissen, setze einfach dein Ergebnis aus der ersten Ableitung in die Normalform ein.
Berechnung Wendestellen:
Du setzt die 2. Ableitung gleich Null. (f'' (x) = 0)
Das Ergebnis, welches du rausbekommst, setzt du in die 3. Ableitung ein.
Wenn da das Ergebnis ungleich Null ist, gibt es einen Wendepunkt.
Wenn das Ergebnis geich Null, dann Terassenpunkt.
Für die Koordinaten einfach wieder das Ergebnis der 2. Ableitung in die Normalform einsetzen.
Links- oder rechtsgekrümmt:
f'' (x) > 0, dann linksgekrümmt
f'' (x) < 0, dann rechtsgekrümmt
Eigentlich ganz easy. Dann setzt du dein Ergebnis in die 3. Ableitung ein, da kommt dann eigentlich auch immer Null raus und dann ist es ein klarer Fall von Terassenpunkt
und wenn die 3. Ableitung dann nicht 0 ist es dann ein Extrempunkt oder wie ?:)
Was ist aber, wenn bei der Extremstellenberechnung rauskommt, dass die zweite Ableitung gleich 0 ist. Dann kann es ja entweder ein Sattelpunkt oder ein Extrempunkt sein und wie kommt man dann darauf, was es ist?