Gilt das immer noch, dass Asylsuchende im ersten sicheren Land, das sie erreichen, um Asyl ansuchen müssen?

Ja, das sogenannte Dublin-Verfahren gilt theoretisch nach wie vor, allerdings wurde es noch nie ernsthaft angewandt und ist eigentlich das Stück Papier nicht wert, auf das es geschrieben wurde. Es bezieht sich übrigens nicht auf das erste sichere Land, sondern auf das erste EU-Land.

Wenn ein Migrant beispielsweise über Serbien, Ungarn und Österreich nach Deutschland einreist und um Asyl ansucht, dürfte Deutschland diesen sofort nach Ungarn abschieben bzw. gar nicht erst über die Grenze lassen (sog. Pushback).

Die deutsche Regierung tut das aber nicht, weil sie die Migranten willkommen heißen und gerne hier aufnehmen, nach dem Motto "wir haben Platz genug für alle, kommen Sie und bringen Sie Ihre Familie mit". Das Gleiche gilt für Österreich. Abschiebungen sind immerhin etwas sehr Böses, und jeder der sich das wünscht, ist ein Nazi...
Und wenn ein EU-Land einen Migranten freiwillig aufnimmt, darf es das, die Abschiebung in das Eintrittsland ist eine Kann- und keine Muss-Bestimmung. Wenn die Regierung nicht abschieben will, muss sie auch nicht.

Das hat in der Realität noch nie so richtig funktioniert.

Schau Dir in dem Report des BAMF mal die Seite 10 genau an, wie viele Übernahmeersuchen es im Jahr 2023 gab, und wie viele Überstellungen tatsächlich stattfanden:

https://www.bamf.de/SharedDocs/Anlagen/DE/Statistik/AsylinZahlen/aktuelle-zahlen-dezember-2023.html?nn=284722

Zum Beispiel hat die Schweiz keines der Dublin-Abkommen unterschrieben.

Dann beweise mal, dass die aus Griechenland, Portugal, Spanien oder Italien gekommen sind.

Ja, schau mal, in dem ersten sicheren Land gibt´s mit Sicherheit keine Willkommenskultur in Form von Bürgergeld für´s Nichtstun. So einfach ist das.
Deshalb marschieren die Ankommenden, wie sie jetzt genannt werden, einfach
durch. Im besten Deutschland aller Zeiten interessiert das niemanden von den
Verantwortlichen, wo die Asyl beantragen.