Ebenengleichung aufstellen?
Guten Tag,
ich verstehe nicht, wie man beweisen soll, dass die in einer Ebene liegen und wie konstruiert man die Gleichung, mit dem Kreuzprodukt?
lg
2 Antworten
1)
Wenn die Punkte A,B,C,D auf einer Ebene liegen, dann muss die Gleichung
A + s*(B-A) + t*(C-A) = D ein Lösung haben.
(0,0,0) + s*(15,21,3) + t*(37,5,5) = (22,-16,2)
Die erste Zeile s*15 + t*37 = 22 ist für s = -1 und t = +1 erfüllt, die restlichen ebenso. Also liegen alle Punkte auf einer Ebene.
Das Kreuzprodukt von (B-A) und (C-A) ist der Normalenvektor der gesuchten Ebene E. Das lautet (90,36,-702) und kann auf (5,2,-39) gekürzt werden. Die Ebenengleichung hat somit die Form E: 5x + 2y -39z = d. Setzt man den Punkt A ein, ergibt sich d = 0
E: 5x + 2y -39z = 0
2)
Die Vektoren an den vier Kanten lauten:
k1 = (B-A) = (15,21,3)
k2 = (C-B) = (22,-16,2)
k3 = (D-C) = (-15,-21,-3)
k4 = (A-D) = (-22,16,-2)
Weil das Skalarprodukt k1*k2 Null ergibt, stehen k1 und k2 aufeinander senkrecht. Die restlichen Kanten verlaufen jeweils parallel und bilden deshalb ein Rechteck.
Drei Punkte definieren eine Ebene, also liegt ein vierter drin oder nicht.
Üblicherweise prüft man, ob die Verbindungsvektoren, die einen der drei definierenden Punkte jeweils mit den beiden anderen verbindet, sich so zu einer Linearkombination fügen lassen, dass unter Berücksichtigung der Verschiebung um den Ortsvektor des ersten der drei Punkte der Ortsvektor dieses vierten Punktes getroffen wird.
Die Verbindungsvektoren ergeben sich als Differenzen der Ortsvektoren.
Die Linearkombination, gebildet mit Unbekannten als Skalare, mit denen die Richtungsvektoren multipliziert werden, plus den Ortsvektor des ersten Punktes, gleichgesetzt mit dem Ortsvektor des vierten Punktes, liefert ein lineares Gleichungssystem in zwei Unbekannten mit drei Gleichungen. Deshalb ist es auch möglich, dass es keine Lösung gibt.
Wenn der vierte Punkte aber in der Ebene liegt, ist das System lösbar, die Unbekannten werden ermittelt und die Vektorgleichung mit ihnen liefert den gesuchten Beweis.
Ist das System nicht lösbar, ist das der Beweis, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt.
b und c sind gleichzeitig die Verbindungsvektoren von A zu B bzw. A zu C, wollte ich eigentlich sagen. Das andere ist ja trivial.
A(0|0|0), B(15|21|3), C(37|5|5), D(22|-16|2)
A ist der Ursprung, dann sind B und C in ihren Koordinaten identisch mit den Komponenten ihrer Ortsvektoren, also b=(15,21,3) und c=(37,5,5). Ortsvektor zu D sei d=(22,-16,2).
Nennen wir unsere Unbekannten mal m und k, und bilden mit der Linearkombination m*b+k*c die Vektorgleichung m*b+k*c=d.
Das führt auf das System
15m+37k=22 und 21m+5k=-16 und 3m+5k=2.
Additions-(bzw. Subtraktions-)verfahren mit den beiden letzten Gleichungen liefert 21m-3m+5k-5k=-16-2, also 18m = -18, also m=-1. Daraus folgt mit letzter Gleichung -3+5k=2, also 5k=5, also k=1.
Prüfung der ersten Gleichung: -15+37=22.Korrekt. Also liegen die vier Punkte in einer Ebene.