divergenz und konvergenz zeigen?

Brauche dringend Hilfe bei der Aufgabe :(

$Für\ n∈N\ sei\ an=(1+\frac{1}{n})^n$ $und\ bn=\ \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 

. Sowohl (a_n)_n∈ℕ als auch (b_n)_n∈ℕ konvergieren gegen die eulersche Zahl e. Man betrachte die Nullfolgen (p_n)_n∈ℕ  und (q_n)_n∈ℕ definiert durch   p_n = e − b_n und q_n= e − a_n.

i)

$zeige,dass\ \sum_{n=1}^{\infty}qn\ divergiert$

ii)

$zeige,dass\ \sum_{n=1}^{\infty}pn\ konvergiert\ und\ berechne\ den\ Wert\ der\ Reihe.$

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Also bei i) würde ich e - a_n > a_2n - a_n abschätzen. Dazu links das 1 + 1/n quadrieren und den binomischen Lehrsatz anwenden, sodass bei der Differenz mindestens ein Summand der Ordnung 1/n übrig bleibt. Die Reihe der Differenzen kann man dann durch eine harmonische Reihe abschätzen.

Bei ii) würde ich das e auch wieder als Reihe schreiben und schauen, wie oft bei der Reihe der Differenzen jeder Summand 1/k! vorkommt.