Konvergenz einer Cosinus-Reihe?

Hallo Leute, könnte diese Vorgehensweise stimmen?

Kam vor einigen Tagen zur Prüfung und hat mich sehr nachdenklich gestimmt.

geg. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\left(n\pi\right)}{\sqrt{n}}$

Den Cosinus würde ich hier nur ungern durch eine weitere Reihe ausdrücken, daher entschied ich mich für den Eulerausdruck.

$=\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{i\cdot\pi\cdot n}+e^{-i\cdot\pi\cdot n}}{2\cdot\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(e^{i\cdot\pi}\right)^n+\left(e^{-i\cdot\pi}\right)^n}{2\cdot\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n+\left(-1\right)^n}{2\cdot\sqrt{n}}$

Soweit so richtig?

Danach ging ich so vor...

$=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot\left(-1\right)^n}{2\cdot\sqrt{n}}==\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}$

Hier kann man perfekt mit dem Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen arbeiten, sodass ich nur noch rausfinden muss, ob 1/sqrt(n) eine monoton fallende Nullfolge ist, nicht?

Monoton fallend?

$a_n>a_{n+1}$

$\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}\Rightarrow n+1>n$

Wahre Aussage!

Nullfolge? (Mittels Epsilon-Kriterium)

$\left|a_n-Grenzwert\right|<\epsilon\ \Rightarrow\left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right|<\epsilon\ \Rightarrow\ \frac{1}{\left|\sqrt{n}\right|}<\epsilon\ \Rightarrow1<\epsilon\cdot\left|\sqrt{n}\right|$

Was ja nur wahr sein kann, da n >= 1.

Da die Folge der alternierenden Reihe eine monoton fallende Nullfolge ist, gilt nach dem Leibnitz-Kriterium, dass es sich bei der Ausgangsreihe um eine konvergente Reihe handeln muss.

Passt das so ungefähr?

Answer 1

[lks72]

Richtig, aber etwas dick aufgetragen. cos(n • π) nimmt wegen der Periodizität nur abwechselnd die Werte 1 und -1, an, damit hast du deine alternierende Nullfolge, und die ist in der Tat nach Leibnitzkriterium Konvergenz.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Quotenbanane]

Danke!

Answer 2

[jmaz17]

Das https://de.wikipedia.org/wiki/Kriterium_von_Dirichlet hilft dir hier weiter. Damit kannst du über die Exponentialdarstellung von Cos und die geometrische Reihe sogar zeigen, dass deine Reihe für cos(nx) für alle reellen Zahlen x konvergiert.

Answer 3

[michiwien22]

Wozu willst du cos (n π) in eine Reihe entwickeln? das sit doch bloß alternierend 1 und -1 ...

Comments

[Quotenbanane]

Ja, im Nachhinein ist mir das auch aufgefallen. Die Frage zielt eher darauf ab, ob es so auch geht.