Was macht Wolfram alpha da?

Hallöle,

ich habe gerade eine Reihe bei Wolfram alpha eingegeben. $\sum_{k=0}^{\inf}\frac{1}{k^2+k+1}-\frac{1}{k^2-k-1}$ Dass die Reihe konvergiert ist klar, schließlich konvergiert ζ(2) auch. Allerdings spuckt Wolfram alpha einige ziemlich, sagen wir mal interessante, Formeln aus. Die verträglichste jener dieser ist:

Da wollte ich einfach einmal fragen: Was macht Wolfram alpha? Wie kommt man von einer relativ simplen Summe auf ..... das?

Comments

[LORDderANALYSE]

Wollen Sie eine Herleitung oder die Regeln dahinter?

[AllesIsi98]

Eher die Regeln dahinter.

Answer 1

[Enzi1]

Das Problem ist, dass man nicht so einfach Grenzwerte berechnen kann. Wolframalpha gibt dir hier eine Approximation bestimmter Verfahren an. Aber einen exakten Wert zu bekommen kann auch eventuell bei dieser Reihe nicht möglich sein.

Comments

[AllesIsi98]

Das verstehe ich ja, aber zumindest ich denke beim Blick auf diese Reihe nicht: "Ach, das sieht doch nach dem Tangens aus, och ja und ein wenig Digammafunktion ist da bestimmt auch drin." Da frage ich mich schon wie Wolfram alpha auf derartige Approximationen kommt.

[ShimaG]

Wolfram Alpha rechnet exakt. Das Ergebnis hier ist keine Näherung-Lösung.

[Enzi1]

@ShimaG

Das stimmt so nicht, hier ist das Ergebnis nicht eine exakte Zahl, sondern ein Term mit der diagamma Funktion, die widerum nur approximativ im Allgemeinen berechnet werden kann

[ShimaG]

@Enzi1

Die Digamma-Funktion ist ein exaktes Ergebnis. Dass man die dann vielleicht nur numerisch berechnen kann, ändert daran nichts.

Answer 2

[BorisG2011]

Sehr interessant.

Wenn du als unteren Summationsindex 1 wählst (es fällt dann der erste Summand weg, der den Wert 2 hat), erhältst du als die "verträglichste" Formel immerhin eine, in der imaginäre Einheit und Digammafunktion nicht mehr vorkommen. Warum das so ist, wüsste ich auch gerne.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik