Beweis Vektoren?
Hallo liebe Community,
für mein Studium soll ich in einer Übungsaufgabe beweisen:
Wenn zwei Vektoren x,y im R^n gegeben sind, dann gilt:
||x+cy||≥||x|| für alle c -> x ist orthogonal zu y
Ich wollte das über Kontraposition beweisen. Findet ihr in meinem Beweis einen Fehler, oder klappt es so?
Beweis: z.z. Wenn x nicht orthogonal zu y ist, dann existiert mindestens ein c, sodass ||x+cy||<||x||
Beziehungsweise existiert mindestens ein c, sodass
||x+cy||²<||x||² <->
(x+cy)•(x+cy)<x•x <->
x•x+2(x•cy)+cy•cy<x•x <->
2(x•cy)+c²*(y•y)<0 <->
2c*(x•y)+c²*(y•y)<0
c²*(y•y) > 0 für alle c
Aber 2c*(x•y)≠0, da (x•y)≠0
Nun:
|2c(x•y)|>|c²(y•y)|
|2(x•y)|>|c(y•y)| und das ist definitiv möglich, wenn c in R ist, da man c beliebig nah an 0 heran bringen kann.
Hat mein ein solches c gefunden, wechselt man einfach das Vorzeichen, sodass 2c(x•y) negativ wird und hat damit ein c gefunden, sodass
2c(x•y)<c²(y•y), wodurch man die Kontraposition gezeigt hat. Damit folgt die Aussage.
Ist hier etwas falsch? Ich bin mir etwas unsicher, ob ich beim quadrieren vielleicht einen Fehler mit eingebaut habe, oder Ähnliches.
2 Antworten
Gefällt mir nicht so gut, vor allem im Hinblick auf ||x+cy||<||x||, weil du c klein machen musst. Die Idee dahinter ist ja der Pythagoras, wenn x und y nicht senkrecht sind, dann kann man vom Endpunkt von x das Lot auf y fällen, dieses ist dann kürzer als x.
Das Lot kriegst du explizit aus dem Ansatz <x-cy, y> = 0, also c = <x, y> / <y, y>.
Es ist dann mit Pythagoras
<x,x> = <x-cy+cy, x-cy+cy> = <x-cy, x-cy> + <cy, cy>
Also <x-cy, x-cy> < <x,x>
Das ist ein noch eleganterer Ansatz; aber c klein zu machen geht auch: zu jedem x, y aus R^n existiert ein c, so dass… - ist ja der gängige Sprachgebrauch in der Analysis… :-)
Ich finde deinen Beweis zudem gar nicht so weit entfernt von dem meinigen. Du hast nur zusätzlich noch ein konkretes c angegeben, welches diese Bedingung erfüllt. Aber dein Beweis ist so viel schöner, das ist schon erstaunlich. :D
Das Konzept dahinter ist die Orthogonalprojektion, kam vielleicht noch nicht dran, liegt aber mit der Aufgabe in der Luft.
Sieht gut aus!
Ich hab‘s nur überflogen, aber die Beweisidee erscheint mir logisch und ich habe viele Beweise gesehen, die genau nach dem Prinzip laufen…
Habe ich auch nicht durch das quadrieren irgendwas verhunzt?
Nee, weil Du ja vorher auch schon Beträge hattest, die positiv waren. Entscheidend ist, dass c beliebig ist und man c so nahe an Null heranrücken kann, dass es zu einem Widerspruch kommt…
Und, hast Du Dich schon an den Universitätsbetrieb in Mathematik gewöhnt? Ist ungewohnt, wenn man im Gegensatz zur Schule alles so haarklein und exakt begründen muss, oder?
Aber wie ich sehe, kommst Du gut damit klar… :-)
Danke der Nachfrage. Für mich ist eher die Zeit ungewohnt. Alles dauert länger als in der Schule :D Ich habe weniger Schlaf, das merke ich schon. Das liegt aber auch an eigenem verschulden, da ich mir täglich 3h Freizeit zum Laufen und zur Bewegung nehme, und diese dann nicht mit Mathematik verbringen kann.
Das ist oft mein Problem, dass ich diese Ansätze nicht finde. So ein Beweis, wie deiner ist natürlich sehr schön. Aber rein theoretisch wäre mein Beweis doch auch okay, oder findest du konkrete Fehler? Gerade dieses Ausnutzen der Kontraposition erlaubt mir ja, ein bestimmtes c zu finden.