Wie finde ich die fehlenden Werte, sodass die 3 Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind?
Hallo,
folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Komponenten x, y und z so, dass die drei Vektoern a, b und c zueinander paarweise orthogonal sind.
a= ( 1 2 -1)^T
b= (4 2 x)^T
c= (y z 1) ^T
Nun weiß ich, dass zwei Vektoren zueinander orthogonal sind, wenn deren Skalarprodukt gleich 0 ergibt. Dann kann ich ja relativ leicht ausrechnen, dass x = 8 sein muss, da es die einzige Variable im Skalarprodukt der Vektoren a und b ist.
Mein Problem ist nun, dass ich ab diesem Punkt nicht weiter weiß. Einerseits könnte ich durch Ausprobieren auf das Ergebnis (y = -3 und z = 2) kommen, aber das kann ja kaum der einzige Weg sein, diese Aufgabe zu lösen.
Bei einer ähnlichen Frage wurde vorgeschlagen, alle drei Skalarproduktgleichungen aufzustellen und das dann als Gleichungssystem mit 3 Unbekannten zu lösen, aber auch hier komme ich auf falsche Ergebnisse. (Ich würde aber nicht ausschließen, dass ich das falsch aufgestellt habe.)
Kann mir jemand weiterhelfen? Wie löse ich das am besten?
Vielen Dank!
2 Antworten
Das Ansatz mit den Gleichungssystemen ist richtig. x = 8 auch.
Die anderen beiden Skalarprodukte liefern
y + 2z = 1
4y + 2z + x = 8
Da x schon bekannt ist, sind das zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Wie löse ich das am besten?
Tatsächlich mit dem Weg, der dir vorgeschlagen wurde.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ja, am besten stellst du deine lösung mit den gleichungssystemen online, damit wir nach den Fehlern suchen können.
Du hast als du III-II gerechnet hast einen Vorzeichen fehler gemacht: 8-(-1)=8+1=9. Dann sollte auch das Ergebnis stimmen.
Oh wow, Tatsache. Vielen Dank! Ich ging davon aus, dass ich alles schon direkt falsch aufgestellt habe und hab dann den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.
Mach ich:
In der Reihenfolge a*b, a*c, b*c aufgestellt sind die Gleichungen der Skalarprodukte so in die Reihen des LGS eingesetzt:
I 1*4 + 2*2 + (-1)*x = 0
II 1*y + 2*z + (-1)*1 = 0
III 4*y + 2*z + x*1 = 0
Daraus ergibt sich ja direkt x = 8, weshalb ich das weiterhin einsetze und generell die Produkte hinschreibe:
I 4 + 4 - 8 = 0
II y + 2z - 1 = 0
III 4y + 2z + 8 = 0
Hier rechne ich nun III - II und erhalte:
I 4 + 4 - 8 = 0
II y + 2z - 1 = 0
III 3y + 0 + 7 = 0
Löse ich III nach y auf, erhalte ich y= -7/3 und das eingesetzt in II ergibt für z = 5/3.
Kontrolliere ich aber die Skalarprodukte damit, erhalte ich b*c= 2 und das zeigt mir ja, dass es falsch sein muss.