Bernoulli-Kette p berechnen?
Guten Abend an alle,
könnte mir bitte jemand diese Aufgabe erklären?
Normalerweise ist immer p gegeben, aber bei dieser Aufgabe ist es andersrum, man muss p herausfinden.
Den Rechenweg im Buch hatte ich nicht verstanden könnte es bitte jemand für Dummies erklären?
vielen Dank im Voraus
2 Antworten
Hallo,
wenn höchstens ein Dieselantrieb zu 91 % Wahrscheinlichkeit gefunden wird, wird zu 9 % kein Diesel gefunden.
Da läßt sich ansetzen
P (kein Diesel) nennst Du q, wobei q=(1-p) ist, was bedeutet: Sobald Du q hast, hast Du auch p.
Wenn bei zwei Autos kein Dieselantrieb zu 9 % gefunden werden soll, bedeutet das
q²=0,09, also q=0,3 und p=1-q=0,7.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Diesel liegt demnach bei 70 %.
Nachtrag: Es geht ja um 'höchstens einer'. Da ist das Gegenereignis 'alle beide'.
In diesem Fall also p²=0,09 und p (Diesel)=0,3 oder 30 %, nicht 70 %.
Herzliche Grüße,
Willy
falls ich es richtig verstanden habe
Ist jedenfalls am einfachsten. Man nennt das Gegenereignis.Gegenereignis zu höchstens einer ist alle beide. Hier liegt auch der Fehler in meiner Antwort.
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit für zwei Diesel gefunden gleich 9 %, also
p²=0,09 und p=0,3. Wahrscheinlichkeit für Diesel daher nicht 70 %, sondern 30 %.
Ich hatte aus Versehen 'mindestens einer', also einer oder zwei, wozu das Gegenereignis 'überhaupt keiner' wäre.
Die Sache über die Bernoullikette auszurechnen, wäre viel komplizierter:
Du müßtest dann über die kumulierte Binomialverteilung gehen und die Summe bilden für k=0 und k=1 über (n über k)*p^k*(1-p)^(n-k) und das gleich 0,91 setzen.
n wäre in diesem Fall 2. 2 über 0 ist gleich 1, 2 über 1 ist gleich 2.
p wäre zu bestimmen.
Ausgeschrieben lautete die Gleichung 1*p^0*(1-p)^2+2*p^1*(1-p)^1=0,91.
Ist natürlich auch zu packen, da p^0=1 und p^1=p und daher noch übersichtlich zusammenzufassen, aber das Gegenereignis p²=0,09 ist wesentlich griffiger.
Funktioniert natürlich nicht mehr, wenn die Aufgabenstellung so lautet:
Wieviel Prozent aller Fahrzeuge haben einen Dieselantrieb, wenn zu 91 % höchstens drei Dieselfahrzeuge gefunden werden, wenn 10 zufällig ausgewählte untersucht werden?
Da hilft fast nur noch Probieren.
na dann habe ich hoffentlich in meiner Arbeit nicht so eine Aufgabenstellung 🥲
ich schreibe morgen eine Arbeit darüber und hatte jetzt erst gesehen, dass es auch solche Arten von Aufgaben gibt
Wahrscheinlich nicht. Werden wohl einfach übers Gegenereignis wie gezeigt zu lösen sein.
Die Aufgabe bezieht sich auf das Konzept der Bernoulli-Ketten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier ist es die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit \( p \) zu berechnen, mit der ein zufällig ausgewähltes Auto in Deutschland Diesel als Kraftstoff verwendet, unter der Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Auto Diesel verwendet, bei 91% liegt.
In diesem Fall untersuchen wir zwei Autos, und wir suchen die Wahrscheinlichkeit \( p \), dass ein einzelnes Auto Diesel verwendet. Wir verwenden die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \( k \) Erfolgen in einer Bernoulli-Kette von \( n \) Versuchen, welche lautet:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
Für unser Problem sind die möglichen Erfolge (\( k \)) entweder 0 oder 1 (da "höchstens ein Auto" Diesel verwendet). Wenn wir also die Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Erfolge summieren, sollte das 0,91 ergeben. Die Gleichungen lauten:
\[
P(X = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^2 = (1-p)^2
\]
\[
P(X = 1) = \binom{2}{1} p^1 (1-p)^1 = 2p(1-p)
\]
Die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ist 91%, also:
\[
(1-p)^2 + 2p(1-p) = 0,91
\]
Diese Gleichung lösen wir nun nach \( p \) auf. Wir können dies entweder durch Ausprobieren (durch systematisches Einsetzen von Werten für \( p \)) oder durch Anwenden von algebraischen Methoden tun. Wir können es algebraisch versuchen. Wollen wir die Gleichung zusammen lösen?
also 2C0 × 0,91hoch 0 × 0,09hoch2 + 2C1 × 0,91hoch1 × 0,91hoch1 ?
(edit:kann ja nicht stimmen..)
Aufjedenfall musd am ende 0,91 rauskommen:
2C0 × phoch 0 × qhoch2 + 2C1 × phoch1 × qhoch1 =0,91
Dann vermutlich die mit Zahlen mit hoch 0 komplett weg und hoch 1 kann man ja auch theoretisch weglassen
also: qhoch2 + 2C1 p × q = 0,91
Die Formel, die Sie zu verwenden versuchen, ist fast korrekt, aber es scheint, dass Sie die Terme verwechselt haben. Die korrekte Anwendung der Bernoulli-Formel für zwei Versuche (n = 2) und höchstens einen Erfolg (k = 0 oder k = 1) ist:
\[
(1-p)^2 + 2p(1-p) = 0,91
\]
Der Term \( (1-p)^2 \) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass kein Auto mit Diesel angetrieben wird (k = 0), und \( 2p(1-p) \) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Auto mit Diesel angetrieben wird (k = 1).
Um die Gleichung zu vereinfachen, führen wir die folgenden Schritte durch:
1. Wir multiplizieren die Terme aus: \( (1-p)^2 = 1 - 2p + p^2 \).
2. Wir setzen diesen Ausdruck und den für \( k = 1 \) in die Gleichung ein.
Das führt uns zu:
\[
1 - 2p + p^2 + 2p - 2p^2 = 0,91
\]
Nun vereinfachen wir die Gleichung weiter, indem wir gleichartige Terme zusammenfassen:
\[
1 - p^2 = 0,91
\]
Umgestellt nach \( p^2 \) erhalten wir:
\[
p^2 = 1 - 0,91 = 0,09
\]
Nun nehmen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten, um \( p \) zu isolieren:
\[
p = \sqrt{0,09}
\]
Das ergibt:
\[
p = 0,3
\]
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto in Deutschland mit Diesel angetrieben wird, 30% beträgt. Wir können dies jetzt rechnerisch überprüfen.
Es gibt zwei Lösungen für die Gleichung: \( p = -0,3 \) und \( p = 0,3 \). Da eine Wahrscheinlichkeit nicht negativ sein kann, ist die korrekte Lösung \( p = 0,3 \), also 30%.
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Auto in Deutschland mit Diesel angetrieben wird, 30% beträgt.
Wer aus ChatGPT postet sollte selbst kontrollieren können und die Quelle angeben.
Chat ist zu 50% falsch bei Mathe
hatte es ehrlich gesagt nicht direkt gewusst ob es von Chat qpt ist, aufjedenfall wurde es sehr merkwürdig verfasst und verstanden habe ich es auch nicht
also im Prinzip geht man dann bei solchen Aufgaben so um, dass man bei höchstens dann das nimmt, was übrig geblieben ist also die 9%
und bei Aufgaben, bei denen z.B. steht:
Dass "Mindestens 1 PKW mit Diesel angetrieben wird liegt bei 40%" würde man dann die 60% nutzen um dann auf das Ergebnis zu kommen also "ein PKW o. kein PKW wird mit Diesel angetrieben"