Vollständige Induktion?
Hi ihr Lieben,
ich habe diese Aufgabe im Internet gefunden und wollte fragen, warum man hier so vorgegagen ist. Bei dieser Aufgabe soll man mit vollständiger Induktion prüfen, ob
11^(n+2) + 12^(2n+1)
durch 133 teilbar ist?
Im letzten Schritt bzw IS in der vorletzten Zeile schreibt man:
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) - 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1)
durch diese Rechung wurde die ursprüngliche Term doch kleiner gemacht
- 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1) wenn man das mit dem vergleicht
+ 12^2*12^(2n+1).
Ist das nicht falsch?
Also das ist:
- 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1) < + 12^2*12^(2n+1).
Induktionsschritt:
11^((n+1)+2) + 12^(2(n+1) + 1)
= 11^(n+3) + 12^(2n + 3)
= 11*11^(n+2)+ 12^2*12^(2n+1)
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) - 11*12^(2n+1) + 144*12^(2n+1). (*)
= 11*(11^(n+2) + 12^(2n+1)) + 133 * 12^(2n+1)