Zwischenwertsatz bei Beweis des Hauptsatzes der Integralrechnung?
Wie hat man da den Zwischenwertsatz angewendet
https://www.youtube.com/watch?v=hHWkR6btj_I
Oder anders gesagt: wieso gibt es ein z im Intervall [5,5 + h], sodass h*f(z) = F(5+h)-F(5)?
2 Antworten
Oder anders gesagt: wieso gibt es ein z im Intervall [5,5 + h], sodass h*f(z) = F(5+h)-F(5)?
Im Grunde wird der Zwischenwertsatz der Differenzialrechnung genutzt. Allerdings muss dafür bewiesen werden, dass F' = f gilt, was ja bewiesen werden soll - das ist also eigentlich unlogisch.
Oder ich vertue mich und es wurde etwas anderes angewendet, was aber nicht erläutert wurde.
Beweisen kannst du den Hauptsatz z.B. so:
Ist f stetig und [a, b] kompakt, so nimmt f auf [a, b] nach dem Satz von Minima und Maxima ihr Minumum m und Maximum M an. Es gilt also die Ungleichungskette
m ≤ f(x) ≤ M
für alle x aus dem Intervall [a, b].
Bildest du nun das Integral auf beiden Seiten (man beachte die Monotonie des Integrals), so erhälst du mit unterer Grenze a und oberer Grenze b die Ungleichungskette
int{a,b,m}dx ≤ int{a,b,f(x)}dx ≤ int{a,b,M}dx.
Für die beiden äußeren Integrale können wir den Wert sofort angeben, da m und M konstant sind - das geht alleine durch die Definition des Integrals und man benötigt nicht den zweiten Haupsatz. Wir erhalten
m(b–a) ≤ int{a, b, f(x)}dx ≤ M(b–a)
und umgeformt, b–a > 0, dann
m ≤ int{a, b, f(x)}dx / (b–a) ≤ M.
Da nun f stetig ist und der Wert des Integrals zwischen m und M liegt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz (von Bolzano) eine Stelle z aus [a, b], sodass
f(z) = int{a, b, f(x)}dx / (b–a).
Man beachte, dass dies nichts mit dem Zwischenwertsatz der Differenzialrechnung zu tun hat.
Noch umformen und wir erhalten den Zwischenwertsatz der Integralrechnung:
f(z) (b–a) = int{a, b, f(x)}dx
mit stetiger Funktion f und kompakten [a, b].
Mit diesem Satz können wir dann den Haupsatz leicht zeigen. Wir definieren
F(x) := int{c, x, f(x)}dx.
Nun bilden wir den Differenzenquotienten
(F(x+h) – F(x)) / h = int{x+h, x, f(x)}dx / h.
Hier wurde eine Rechenregel für die Integrationsgrenzen angewandt.
Nach dem Zwischenwertsatz der Integralrechnung gibt es nun ein z zwischen x und x+h, sodass
(F(x+h) – F(x)) / h = f(z).
Lassen wir nun h gegen Null gehen, so geht z gegen x und wir erhalten den Differenzialquotienten
lim{x->0} (F(x+h) – F(x)) / h = f(x).
Die Ableitung von F existiert also und ist stetig (nach Voraussetzung). Sie ist der Integrand.
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du ziehst das kleine vom größeren ab, also 5 ist kleiner als 5+h, wenn h>0 ist. somit ist 5+h die Obergrenze und d die Untergrenze. h liegt irgendwo auf der strecke zwischen 5 und 5+h.