X und y achsen Grenzwert?

(Bild durch den Support entfernt)

Hallo kann mir jemand den x und y achsen Grenzwert ausrechnen von dem hier? Vom punkt c aus. Ich weiss einfach nicht wies geht und muss es morgen abgeben. Erstes dreieck: Grundseite ist 10 und kathete 7.07

Comments

[eterneladam]

Wie wär's, die vollständige Beschreibung für die Bildung dieser Dreiecke zu posten?

[verreisterNutzer]

Wofür?

Answer 1

[mihisu]

Was genau meinst du mit „x und y achsen Grenzwert“? Meinst du die Koordinaten des Punktes, gegen welchen die Folge konvergiert?

Bzw. fast noch wichtiger... Wie ist die Folge überhaupt definiert. Wie hängt das nächste Dreieck mit dem vorigen Dreieck zusammen? [Da nächste Dreieck soll jeweils halbe Seitenlängen im Vergleich zum vorigen Dreieck haben. Sehe ich das richtig?]

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Betrachte die Punkte-Folge P₀, P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, ... Gesucht ist der Grenzwert dieser Punkte-Folge.

Betrachte die Verbindungsvektoren...

$\vec{v}_{n}=\overrightarrow{P_{n-1}P_{n}}$

Der erste Verbindungsvektor ist...

$\vec{v}_{1}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$

... und offensichtlich erhält man den nächsten Verbindungsvektor jeweils, indem man den vorigen Verbindungsvektor um -45° dreht (also um 45° im Uhrzeigersinn dreht) und mit Faktor 1/2 skaliert (also die Länge halbiert). Also...

$\vec{v}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}\cos(-45\degree) & -\sin(-45\degree)\\ \sin(-45\degree) & \cos(-45\degree)\end{pmatrix}\cdot \vec{v}_{n}$

$\vec{v}_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}\cos(45\degree) & \sin(45\degree)\\ -\sin(45\degree) & \cos(45\degree)\end{pmatrix}\cdot \vec{v}_{n}$

Wenn man von v₁ = (5, 5) ausgehend n - 1 Schritte durchführt, erhält man...

$\vec{v}_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\cdot \begin{pmatrix}\cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) & \sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\\ -\sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) & \cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\end{pmatrix}\cdot \vec{v}_{1}$

[Das sollte recht offensichtlich sein, kann man aber auch nochmal mit vollständiger Induktion ordentlich zeigen.]

Also...

$\vec{v}_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\cdot \begin{pmatrix}\cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) & \sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\\ -\sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) & \cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$

$\vec{v}_{n}=\frac{5}{2^{n-1}}\cdot \begin{pmatrix}\cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) + \sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\\ -\sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree) + \cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree)\end{pmatrix}$

$\vec{v}_{n}=\frac{5}{2^{n-1}}\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{2}\cdot \sin(\left(n-1\right)\cdot 45\degree+45\degree)\\ \sqrt{2}\cdot \cos(\left(n-1\right)\cdot 45\degree+45\degree)\end{pmatrix}$

$\vec{v}_{n}=\frac{5\cdot \sqrt{2}}{2^{n-1}}\cdot \begin{pmatrix}\sin(n\cdot 45\degree)\\ \cos(n\cdot 45\degree)\end{pmatrix}$

$\vec{v}_{n}=\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^{n}}\cdot \begin{pmatrix}\sin(n\cdot 45\degree)\\ \cos(n\cdot 45\degree)\end{pmatrix}$

Damit erhält man dann für den Ortsvektor eines Punktes Pₙ ...

$\overrightarrow{OP_{n}}=\overrightarrow{OP_0}+\overrightarrow{P_0P_1}+\overrightarrow{P_1P_2}+\dots+\overrightarrow{P_{n-1}P_{n}}$

$\overrightarrow{OP_{n}}=\overrightarrow{OP_0}+\vec{v}_1+\vec{v}_2+\dots+\vec{v}_n$

$\overrightarrow{OP_{n}}=\overrightarrow{OP_0}+\sum\limits_{k=1}^{n}\vec{v}_k$

Für die x-Koordinate xₙ des Punktes Pₙ erhält man dann dementsprechend...

$x_n=\underbrace{x_0}_{=0}+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \sin(n\cdot 45\degree)$

$x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \sin(n\cdot 45\degree)$

Für die y-Koordinate yₙ des Punktes Pₙ erhält man analog...

$y_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \cos(n\cdot 45\degree)$

Gesucht sind also die Werte der Reihen...

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \sin(n\cdot 45\degree)\quad \text{bzw.}\quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \cos(n\cdot 45\degree)$

Wenn man sich da immer vier aufeinanderfolgende Glieder mit Indizes 4m - 3 und 4m - 2 und 4m - 1 und 4m auf einmal vornimmt, erhält man wegen...

$\sin(\left(4m-r\right)\cdot 45\degree)=\sin(m\cdot 180\degree-r\cdot 45\degree)=\left(-1\right)^{m}\cdot \sin(-r\cdot 45\degree)$

$=\left(-1\right)^{m+1}\cdot \sin(r\cdot 45\degree)$

... und...

$\sin(3\cdot 45\degree)=\sin(135\degree)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(2\cdot 45\degree)=\sin(90\degree)=1$

$\sin(1\cdot 45\degree)=\sin(45\degree)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(0\cdot 45\degree)=\sin(0\degree)=0$

... dann weiter...

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \sin(n\cdot 45\degree)$

$=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(\frac{10\sqrt{2}}{2^{4m-3}}\left(-1\right)^{m+1}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{10 \sqrt{2}}{2^{4m-2}} \left(-1\right)^{m+1} 1+\frac{10 \sqrt{2}}{2^{4m-1}} \left(-1\right)^{m+1}\frac{\sqrt{2}}{2}+0\right)$

$=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{10\sqrt{2}}{2^{4m}}\cdot (-1)^{m+1}\cdot \left(\frac{1}{2^{-3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2^{-2}}+\frac{1}{2^{-1}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(-10\sqrt{2}\right)\cdot \frac{1}{2^{4m}}\cdot (-1)^{m}\cdot \left(4\sqrt{2}+4+\sqrt{2}\right)$

$=\sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(-10\sqrt{2}\right)\cdot \left(\frac{-1}{2^4}\right)^{m}\cdot \left(5\sqrt{2}+4\right)$

$=-10\sqrt{2}\cdot \left(5\sqrt{2}+4\right)\cdot \sum\limits_{m=1}^{\infty}\left(\frac{-1}{16}\right)^{m}$

$=-10\sqrt{2}\cdot \left(5\sqrt{2}+4\right)\cdot \frac{-\frac{1}{16}}{1-\left(-\frac{1}{16}\right)}$

$=\frac{40\sqrt{2}+100}{17}\approx 9\text{,}21$

Analog dazu erhält man für den Grenzwert bei der Folge der y-Koordinaten...

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{10\cdot \sqrt{2}}{2^n}\cdot \cos(n\cdot 45\degree)=\dots=\frac{-10\sqrt{2}+60}{17}\approx 2\text{,}70$

Die Folge konvergiert also gegen den Punkt...

$P_\infty =\left(\frac{40\sqrt{2}+100}{17}\middle| \frac{-10\sqrt{2}+60}{17}\right)\approx\left(9\text{,}21\middle| 2\text{,}70\right)$

Comments

[verreisterNutzer]

Genau:) das nächste dreieck ist immrr gleichschenklig und ist immer halb so gross wie das vorherige. Ist rechtwinklig.

[verreisterNutzer]

Es hat was mit kosinus zu tun. Die erste Koordinate hast du ja. Dann kannst du den Winkel zwischen der hypotenuse und Kathete ausrechnen mit sinus/kosinus Formeln und die Länge der Kathete haben wir ja schon berechnet. Damit hast du Punkt, Richtung und Länge des Vektors und kannst so auf den nächsten Punkt kommen. Ist schon aufwendig aber würde gehen. Vielleicht fällt dir wenn du beim 3. Punkt bist eine Regelmäßigkeit auf und du kannst wieder eine geometrische Reihe bilden. Das waren die worten meines lehrers aber habe keine aahnung was er meint.

[mihisu]

@verreisterNutzer

Ich habe mal einen entsprechenden Lösungsweg am Ende meiner Antwort aufgeschrieben, wie ich das rechnen würde.

[verreisterNutzer]

@mihisu

Danke, aber ich muss vom punkt c aus es ausrechnen und nicht vom punkt a

[mihisu]

@verreisterNutzer

Das ist doch relativ egal. Dann lässt du eben einfach den Punkt P₀ = A weg und beginnst einen Schritt weiter bei P₁ = C. Das ändert nichts an der Rechnung für den Grenzwert.

[verreisterNutzer]

@mihisu

Danke🙏🙏🙏du hast mich echt gerettet

[verreisterNutzer]

@mihisu

"Wenn man sich da immer vier aufeinanderfolgende Glieder mit Indizes 4m - 3 und 4m - 2 und 4m - 1 und 4m auf einmal vornimmt, erhält man wegen..." was meinst du mit dem oder wie bist du darauf gekommen

$\sin(\left(4m-r\right)\cdot 45\degree)=\sin(m\cdot 180\degree-r\cdot 45\degree)=\left(-1\right)^{m}\cdot \sin(-r\cdot 45\degree)$