Wieso sind Mengen die fundamentalsten Objekte in der Mathematik?
Die Dame in der verlinkten Doku hat gemeint, dass das der Standpunkt der meisten Mathematiker und Mathematikerinnen ist.
Ich gehe mal davon aus, dass sie die Wahrheit sagt, und die meisten es tatsächlich so sehen, aber das führt mich zu meiner Frage:
Aus welchem Grund sollen Mengen die fundamentalsten Objekte in der Mathematik sein?
4 Antworten
Das Video habe ich mir jetzt noch nicht angeschaut, will dies aber noch tun.
Daß die gesamte Mathematik auf dem Mengenbegriff basiert, ist kein philosophischer oder ontologischer "Standpunkt". Wohl kaum jemand würde behaupten, daß z. B. Zahlen "in Wirklichkeit" Mengen sind. Der Punkt ist, daß man sie als Mengen auffassen kann. Man kann die gesamte Mathematik auf den Mengenbegriff gründen, also tut man es. Man hat damit die Forderung von Ockhams Rasiermesser erfüllt: Man braucht ontologisch außer Mengen keine weiteren Objekte anzunehmen. Und man hat gezeigt, daß die gesamte Mathematik rein extensional aufgebaut werden kann.
Alternativ kann man auch die gesamte Mathematik auf dem Begriff der Funktion aufbauen. Alle mathematischen Objekte (einschließlich Mengen) lassen sich auf den Begriff der Funktion zurückführen. Der Begriff der Funktion selber wird dann nicht definiert, so wie beim üblichen Vorgehen der Begriff der Menge nicht definiert wird. Ein "richtig" oder "falsch" gibt es hier nicht, es wäre Unsinn zu fragen: "Aber sind mathematische Objekte denn nun in Wirklichkeit Mengen oder sind es Funktionen?" Man kann sie als Mengen auffassen und man kann sie als Funktionen auffassen, beides funktioniert, und was funktioniert, ist erlaubt. Mengen als Grundlage der Mathematik anzusehen, ist aber die übliche Vorgehensweise.
Danke für das Lob. Was genau willst Du denn über Funktionen wissen?
Einfach generell was sie so sind (ich verstehe nämlich eben nicht, *was* Funktionen im Kern sind). Also ich bräuchte die absolut einfachste und minimalistischste, grundlegendste Definition, die man sich ausdenken könnte.
Nun, alles basiert in der Mathematik auf Mengen. So sind zum Beispiel auch die Zahlen, die elementarsten Objekte der Mathematik, auf Mengen basierend. Wir nehmen im echten Leben zahlen oft als sehr selbstverständlich wahr. Wir haben alle eine Vorstellung von "0", "1", "3", "47", usw. Aber was meint "1" wirklich? Das ist eine Frage, die im ersten Moment... komisch erscheint, aber tatsächlich sehr interessant ist. Was würdest du antworten? "Ein Etwas" vielleicht. Aber das ist unpräzise. Unwissenschaftlich und fußt auf lauter Nichts. OH! NICHTS!!! Genau!
Wir wissen, dass wenigstens eine Sache existiert. Das heißt: Es gibt auch die Abwesenheit dieser und damit aller Sachen. Die Abwesenheit aller Sachen ist aber eine Menge, nämlich
also die leere Menge, man nutzt auch das Symbol ∅. Und siehe da, wir haben eine Definition für die 0. Die Null ist die Abwesenheit alles Existenten. Damit hat man eine mathematische, fundierte Grundlage der Zahlen und kann das ganze mit einfachen Regeln, den Regeln der Mengenlehre, fortführen. Diese Regeln sagen zum Beispiel, dass ich irgendetwas (außer die Menge selber) nehmen und in eine Menge packen kann. Und schwups, wir haben die Möglichkeit, alle Zahlen basierend auf der leeren Menge zu definieren. Die Zahlen sind nämlich letztendlich diese Mengen:
....
Alles basiert, wenn man sich die Definitionen von Neumann zu Nutze macht, auf den Mengen. Fundamental war dabei vor allem der Gedanke mit der Abwesenheit von Existentem.
Mathematik braucht ein festes Fundament.
Da hat sich die Menge bewährt.
Der Standpunkt wird vertreten
Principia Mathematica , ein wichtiges Werk von 1900 , von Whitehead und Russell
und nach ganz viel Vorarbeit wird sogar das
bewiesen . Ausgehend von Mengen , nicht von Zahlen , die erst aus Mengen entstehen .
Etwas zum Nachtisch
kann man das glauben ? Nicht in der Lage sind , die eigene Grundlage zu ....
Topologische Räume, metrische Räume, differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Algebren, Gruppen, Ringe, Körper, Liegruppen, Liealgebren, Vektorräume, Module, Faserbündel, Funktionenräume, Hilberträume, geometrische Stukturen (als Nullstellenmenge von Polynomen) - das alles sind (mit zusätzlichen Strukturen ausgestattete) Mengen.
Mit anderen Worten: allen mathematischen Theorien liegen bestimmte Mengen zugunde. Ohne Mengen keine Mathematik.
Ich überlege gerade, ob es überhaupt eine mathematische Theorie gibt, die ohne den Mengenbegriff auskommt. Mir fällt keine ein.
Überraschung : Ich dachte , du hättest "linear" zu Lie verkürzt , aber nein , es ist der Herr Sophus Lie !
Danke, dass du nachgeschaut hast. Ich hatte spontan geantwortet (war faul).
Danke für die tolle Antwort. Ich habe Funktionen nie wirklich verstanden. Kannst du sie mir erklären? Du erklärst glaube ich irgendwie gut. Danke!