Wie prüft man eine Funktion auf Injektivität und Surjektivität?
Hallo zusammen,
ich stoße in meinen Übungsaufgaben, in meinem Skript, etc. immer nur auf die Suche nach Gegenbeispielen. So ist beispielsweise die Funktion fx = ( 1 - |x| ) / ( 1 + |x| ) nicht injektiv, da f(1) = f(-1) = 0, aber ich finde nirgendwo einen allgemeingültigen Ansatz oder eine Methode um eine Funktion darauf zu prüfen.
2 Antworten
Naja, im Prinzip kannst du die >nicht< vorhandene Injektivität bzw. Subjektivität immer so zeigen, man muss nur ein Gegenbeispiel finden.
Willst du aber zeigen, dass eine Funktion injektiv bzw. surjektiv ist, fällt mir folgendes ein (Funktionen: ℝ—>ℝ):
Injektivität: Zeige, dass die Funktion streng monoton ist, z. B. indem du nachweist - falls sie differenzierbar ist -, dass die Ableitung überall (auf dem Definitionsbereich) ungleich null ist.
Subjektivität: Wenn eine Funktion streng monoton und stetig ist, reicht es die Ränder der Zielmenge zu betrachten (sind es die Ränder die Funktionswerte des Definitionsbereichs, dann ist sie surjektiv). Wenn sie nicht streng monoton aber stetig ist, betrachte die lokalen und globalen Extrema (bzw. Globalverhalten) - nur die Werte zwischen diesen Extrema dürfen in der Zielmenge sein.
Allgemeiner Ansatz für f: D → W:
Hat f eine Termdarstellung (y=f(x), oder allgemein f(x,y)=0), versuche, die Gleichung nach x aufzulösen.
- Wenn das reibungslos und eindeutig klappt, ist f bijektiv.
- Wenn Du (mindestens) ein y∊D ausschließen musst (z. B. y=0, weil es im Nenner steht, oder y<0, wenn es unter der Wurzel steht), dann ist f nicht surjektiv.
- Wenn es für (mindestens) ein y∊D mehrere Lösungen für x gibt (z. B. beim Lösen einer quadratischen Gleichung), dann ist die Funktion nicht injektiv.
Alternativen/Sonderfälle:
- Bei endlichen D und W kannst Du prüfen, ob |D|=|W| ist. Bei |D|<|W| ist f nicht surjektiv, bei |D|>|W| nicht injektiv.
- Bei total geordneten D und W kannst Du f auf Monotonie untersuchen. Es gilt f ist injektiv ⇔ f ist streng monoton. Surjektivität ist so aber schwieriger zu zeigen, besonders wenn f nicht injektiv ist.
- Ist f differenzierbar und D zusammenhängend, kann man die strenge Monotonie oft einfacher durch „fast überall f'(x)>0“ (oder <0) zeigen.