Wie berechnet man die Schnittfläche?
Wie berechnet man hier die Schnittfläche der beiden Kreise?
Der kleine hat, wie auf dem Foto zu sehen, einen Radius von 5, der große eine Radius von 10.
Welche Fläche genau meinst du?
Die Fläche, in der sich die beiden Kreise schneiden. Die liegt in dem Quadrat.
4 Antworten
Hallo,
durch Gleichsetzung der Kreisgleichungen bekommst Du als Schnittpunkt (4|8) heraus. Verbinde (0|0) sowie die Mittelpunkte der beiden Kreise mit (4|8).
So bekommst Du zwei Kreisausschnitte. Ziehst Du von denen die jeweiligen Dreiecke aus Ursprung, Mittelpunkten und Schnittpunkt ab, bleiben die Flächen über den Sehnen übrig, die Du nur noch zu addieren brauchst. Die entsprechenden Winkel bekommst Du am einfachsten über den Arkustangens.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich bin gerade unterwegs, sehe keinen wirklich einfachen Weg, ich weiß nicht, ob das irgendwie eine Wettbewerbsaufgabe ist, dann müsste man mal länger über einen schönen Weg nachdenken, aber wenn dich erstmal nur die Fläche und nicht der Weg interessiert, kommst du mit Integralen sicher ans Ziel. Einfach die beiden Halbkreisgleichungen aufstellen, Schnittpunkte berechnen und integrieren. Vielleicht stelle ich mir das auch nur zu einfach vor 🤔
Achso, naja man kann die ja als y-abhängige Funktion sehen, das ist für den Fragesteller sicher machbar :D
Haha stimmt klar das geht auch. Viele Wege führen hier nach Rom. Aber das ist wahrscheinlich der einfachste.
Schau dir den kleinen Kreis an, den unteren rechten Viertelkreis von dem Quadrat in dem es liegt abziehen umso das restliche Flächenstück zu erhalten;
Aquastar=5^2=25
Aviertelkreisklein=1/4 *r^2*pi=19.63
A1=25-19.63=5.37
Jetzt vom großen Kreis das obere Stück in dem der Kreis nicht mehr im blauen Quadrat liegt berechnen;
Aviertelkreisgroß=1/4 *r^2*Pi
Aquadrat=10^2=100
A2= 21.5
Jetzt braucht man nur noch das kleine Stück beim Schnittpunkt, beim linken oberen Quadrat;
Das kann man über die Formel mit dem Kreisbogen berechnen, der Schnittpunkt ist bei 4/8 also hat man als Sehne s= 6 und Höhe des Kreisbogens h=1; man kann ein kleines Rechteck mit dem Kreisbogen legen und so die kleine Fläche berechnen;
Denke drüber nach dann schaffst du den letzten Schritt mit Sicherheit wobei man dann noch ein wenig die einzelnen Flächenstücke komponieren muss und man braucht noch einen zweiten Kreisbogen...
Man unterteilt die Schnittfläche gedanklich in ein kleines und ein großes Kreissegment:
Man bestimmt die beiden Mittelpunktswinkel α (hier in grün und rot) und berechnet damit die Flächeninhalte zweier Kreissegmente nach folgender Formel:
Dann setzt man Werte ein und bestimmt schließlich die gesuchte Gesamtfläche indem man beide Segmente addiert:
Grundsätzlich richtiger Ansatz. Integrale gehen bei sowas immer, man muss hier nur etwas umdenken und die beiden Kreise etwas drehen, damit der r5 halb Kreis als eine Halbkreis Funktion dargestellt werden kann. So wie es jetzt ist geht das nicht, da bräuchte man beide halbkreisfunktionen (+und -) und müsste dann die einzelnen integrale zusammen setzen. Geht auch ist aber deutlich aufwendiger.