Vorzeichenwechsel Mathe?
hallo, ich habe morgen mein mündliches Abitur in Mathe und lerne gerade Analysis.
zur Bestimmung von Extrempunkten muss man ja die erste Ableitung einer Funktion betrachten.
wenn dort ein Vorzeichenwechsel von minus auf Plus stattfindet, liegt ein Minimum vor, von plus nach minus ein maximum und blablabla. das weiß ich alles.
jetzt stellte sich mir bei einer Aufgabe jedoch die Frage: was liegt vor, wenn quasi ein wechsel von -2 auf 0 vorliegt?
oder von 0 auf 0? oder von 0 auf 2??
Selbst GeoGebra konnte mir bei dieser Frage irgendwie nicht weiterhelfen.
2 Antworten
Die erste Ableitung liefert die Steigung der Kurve zu der Ursprungsfunktion.
Vorzeichenwechsel von plus zu minus bedeutet, dass links vom Extrempunkt die Kurve eine positive Steigung und rechts eine negative Steigung hat. So begründet sich der Hochpunkt. Wenn rechts oder links vom Extrempunkt eine Steigung von 0 vorliegt, bedeutet dass, das hier die Steigung Null ist und damit die Kurve horizontal verläuft.
Das klingt aber nach einer Unstetigkeit in Deiner Ausgangsfunktion. Für Funktionen in der Schulmathematik ist das eher ungewöhnlich. Hast Du ein Beispiel, bei dem das so auftritt?
Nimm Punkte näher dran, oder berechne die zweite Ableitung. Die nächste Nullstelle (also den nächsten Extrempunkt) für die Probe zu nutzen ist natürlich nicht so schlau.
Oh, dann lag es hier vielleicht daran.. Du hast recht! Vielen Dank
Die erste Ableitung gibt ja die Steigung einer Funktion an.
was liegt vor, wenn quasi ein wechsel von -2 auf 0 vorliegt?
Dann hat man eine negative Steigung, die geringer wird und in einer waagrechten Tangente endet. Das muss ein Tiefpunkt sein.
oder von 0 auf 0?
Dann hat man eine Gerade bzw. einen geraden Abschnitt parallel zur x-Achse. Die Steigung ändert sich ja nicht und bleibt bei 0. Wenn sich die Steigung zwischen 0 und 0 ändert, ist das der Abschnitt zwischen zwei Extrempunkten.
0 auf 2
Das ist dann ein Abschnitt, wo der Graph von einer waagrechten Tangente, also einem Extrempunkt eine zunehmend positive Steigung einnimmt. Das muss ebenfalls ein Tiefpunkt sein.
Die Aufgabe ist wie folgt:
f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 (gegeben)
f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x (von mir berechnet)
Nullstellen: 0, 1 und 2 (von mir berechnet)
f '(-1) = -24
f '(1) = 0
—> Was heißt das für die Nullstelle bei x=0?
f '(0) = 0
f '(2) = 0
—> Was heißt das für die Nullstelle bei x=1?
f '(1) = 0
f '(3) = 24
—> Was heißt das für die Nullstelle bei x=2?