Mathe Aufgabe wie? Integrale?
Es geht um folgende Aufgabe
Ich Check das Konzept garnicht? Wie soll man da bitte vorgehen ?
2 Antworten
Suche dir zunächst die Schnittstellen (x-Werte), dort wo die Fläche danach von anderen Linien nach oben bzw. nach unten begrenzt wird als zuvor. Das sind deine Integralgrenzen.
Bei a) beispielsweise...
- Es gibt eine negativ-wertige Schnittstelle x = a, wo sich die grüne Kurve (Graph von g) mit der blauen Kurve (Graph von f) schneidet. Dort beginnt die rote Fläche.
- Ab der Stelle x = 0 (Schnittstelle von blauer Kurve und roter Kurve) wird die rote Fläche nicht mehr von der blauen Kurve begrenzt, sondern von der roten Kurve (Graph von h).
- Es gibt eine positiv-wertige Schnittstelle x = c, wo sich die grüne Kurve mit der roten Kurve schneite. Dort endet die rote Fläche.
Damit hat man die Integralgrenzen a, 0, c gefunden. Nun muss man noch schauen, durch welche Funktionsgraphen die Fläche in den jeweiligen Abschnitten nach oben bzw. nach unten begrenzt ist. [Integriere dann jeweils die Differenz „oberer Funktionswert minus unterer Funktionswert“ in den entsprechenden Grenzen.]
- Zwischen den Stellen x = a und x = 0 ist die Fläche nach oben durch den Graphen der Funktion f und nach unten durch den Graphen der Funktion g begrenzt. Für den entsprechenden Flächeninhalt in diesem Abschnitt erhält man dann dementsprechend...
- Zwischen den Stellen x = 0 und x = c ist die Fläche nach oben durch den Graphen der Funktion h und nach unten durch den Graphen der Funktion g begrenzt. Für den entsprechenden Flächeninhalt in diesem Abschnitt erhält man dann dementsprechend...
Für den gesamten Flächeninhalt der rot markierten Fläche erhält man dann insgesamt...
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Ich würde als Lösung der Teilaufgabe a) beispielsweise schreiben...
- Berechne die Schnittstellen der Funktionsgraphen von f und g. Dies liefert eine Stelle x = a mit a < 0 und eine Stelle x = b mit b > 0.
- Erkenne, dass ich die Funktionsgraphen von f und h offensichtlich an der Stelle x = 0 berühren.
- Berechne die Schnittstellen der Funktionsgraphen von h und g. Dies liefert eine Stelle x = c mit c > 0 und eine Stelle x = d mit d < 0.
Den gesuchten Flächeninhalt der rot markierten Fläche erhält man dann durch...
Alternativ könnte übrigens den gesuchten Flächeninhalt beispielsweise auch folgendermaßen berechnen, indem man die Fläche gedanklich anders unterteilt...
Bzw. gibt es noch weitere Berechnungsmöglichkeiten, die zum gleichen Ergebnis führen.
a)
Wir machen uns das Leben einfacher und verschieben alle Funktionen auf der y-Achse nach unten, so dass die Schnittpunkte (nennen wir sie S1 und S2) zwischen g und f genau auf der x-Achse liegen. Dazu gehen wir folgendermaßen vor:
- Schnittpunkte zwischen g und f berechen
- y-Koordinate für Schnittpunkt auswerten
- daraus eine Konstante c ermitteln (Vorzeichen beachten)
- c zu allen Funktionen hinzu addieren und diesen Funktionen einen neuen Namen geben (z.B. f*, g*, h*)
Diese Verschiebung erlaubt es uns nun, in wenigen Schritten die Teilflächen zu ermitteln. (Andernfalls müssten wir im Bereich um S1 und S2 zusätzlich jeweils die winzig kleinen Teilflächen berechnen, um sie subtrahieren zu können. Das wäre unnötiger Mehraufwand.)
Jetzt integrieren wir unsere neuen Funktionen und verrechnen die Teilergebnisse entsprechend miteinander:
Die markierte Fläche unterhalb von f* ergibt sich, wenn man beide Funktionen (f*, g*) jeweils von S1 bis S2 integriert, und die Ergebnisse (Beträge) summiert.
Für das weitere Flächenstück rechts oben muss zunächst der Schnittpunkt (S3) zwischen g und h bestimmt werden. Dieses Flächenstück ergibt sich dann aus dem bestimmten Integral von h* von 0 bis S3, minus die Fläche unter g* von S2 bis S3 , minus die Fläche unter f* von 0 bis S2.
Bei b) kann man die Symmetrie nutzen, d.h. man muss nur eine Seite berechnen und die Gesamtfläche ist dann =2*Ergebnis.
Hier gehst du ganz ähnlich vor: Funktionen an günstigen Schnittpunkt verschieben, Fläche unter h* berechnen, Teilfläche unter g* subtrahieren, Teilfläche unter f* subtrahieren.