Lgs Lösen?
Wie löse ich das
x1+4x2 + x3 =0
-3x1 + x3=0
3 Antworten
Das kann man nicht eindeutig lösen. Es ist unterbestimmt (3 Variablen, 2 gleichungen) und hat somit unendlich viele Lösungen.
Ein solches unterbestimmtes Gleichungssystem hat in den allermeisten Fällen unendlich viele Lösungen, in seltenen Fällen gar keine.
Das heißt aber nicht, dass man jetzt für x1, x2 und x3 unabhängig voneinander irgendwelche Zahlen einsetzen darf.
Ein üblicher Ansatz ist, dass man so tut, als ob man eine der Variablen kennen würde, also z.B. x2. Man gibt dieser Variablen gern einen besonderen Namen, z.B. x2 = t.
Dann hat man
x2 = t
x1 + 4t + x3 = 0
-3x1 + x3 = 0
Subtrahiert man die dritte Gleichung von der zweiten, hat man
4x1 + 4t = 0, also x1 = -t.
Und aus der dritten Gleichung folgt x3 = -3t.
t kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen, daher gibt es unendlich viele Lösungen.
Hinweis: Die beiden Gleichungen beschreiben zwei (zweidimensionale) Ebenen im (dreidimensionalen) Raum. Die Lösung beschreibt die Schnittgerade dieser beiden Ebenen.
Die 2. Gleichung von der 1. Gleichung abziehen =>
4x₁ + 4x₂ = 0 │:4
x₁ + x₂ = 0 │-x₂
x₁ = - x₂
Und aus der 2. Gleichung folgt: x₃ = 3x₁
Es gibt unendlich viele Lösungen, und zwar
alle Zahlenkombinationen x₁ , x₂ , x₃ bei denen gilt x₁=-x₂ und x₃=3x₁
Ein Bsp. für eine Lösung ist: x₁=1 , x₂=-1 , x₃=3
aber es gibt noch unendlich viele weitere Lösungen.