Konvergenz einer Potenzreihe nachweisen?

Es geht hier um die Randbetrachtung von der b).
Dass man Iz-z0I=1/3 betrachtet verstehe ich, aber wie kommt man auf die gelb markierte Rechnung?? Man betrachtet den Betrag der ursprünglichen Potenzreihe und was passiert nach dem "=" Zeichen?

Answer 1

[FataMorgana2010]

Es wird doch nur die Gleichung

|z-2-i| = 1/3 eingesetzt und ein paar Eigenschaften der Betragsfunktion genutzt. Es ist

$|a\cdot b| = |a|\cdot |b|$ Also kann ich schreiben:

$|(-3)^n(z-2-i)^n | = |(-3)^n| \cdot | (z-2-i)^n | = |(-1)^n \cdot 3^n| \cdot |(\frac{1}{3})^n|$ $= |(-1)^n |\cdot |3^n| \cdot |(\frac{1}{3})^n| = 1 \cdot 3^n \cdot (\frac{1}{3})^n$

Comments

[Sheeeeesh2]

Danke, habs soweit verstanden. Eine kleine Frage: Wie kommt man auf die Divergenz? Muss ich mir dazu noch das Summenzeichen vorstellen von n=1 bis unendlich? Und da die Summe von 1+1+1+1+1+... divergiert, divergiert die Potenzreihe auf dem Rand?

[FataMorgana2010]

@Sheeeeesh2

Jein. Du weißt ja erstmal nur, dass der Betrag 1 ist, daher kannst du die Summe nicht einfach hinschreiben, aber es reicht aus zu wissen, dass die Folge keine Nullfolge ist - und wenn du über eine Nicht-Nullfolge eine Reihe bildest, dann divergiert die immer.