Kann mir jemand den Grenzwert Erklären?
Hallo zusammen. Kann mir jemand den Grenzwert erklären. Den punktierten Grenzwert verstehe ich komplett. Ich brauche aber Hilfe bei dem neuerer Grenzwertbegriff. Dabei rechnet man nicht mit Punkten sondern mit der Umgebungen.
Was soll denn ein punktierter Grenzwert sein?
Nähernd man sich den gewünschten Punkt an durch z.B einsetzen von zahlen. Man arbeitet mit Punkten. Die andere Methode ist die Lösung durch die Umgebung.
Um was für einen Grenzwert soll es gehen? Einer Zahlenfolge? Einer Funktion in einem Punkt? Einer Funkrionenfolgr?
Funktion
3 Antworten
Das was du meinst, kann man eigentlich nichtmal als Definition des Grenzwertes bezeichnen. Die eigentlich korrekte, aber nicht einzige Definition ist die :
lim f(x) = a : <=>
x —> x0
∀ℇ>0∃δ>0∀x∈D : (0< | x - x0| < δ ⇒ | f(x)-a| < ℇ)
Diese arbeitet mit punktierten Umgebungen x ≠ x0.
Beispiel :
lim sqrt(x)= x0 , x0>0
x —> x0
beweis : Sei ℇ>0 beliebig. Wähle δ = ℇ*x0 > 0, dann gilt ∀x∈D mit 0<|x-x0| < ℇ*x0:
| sqrt(x)-x0| = | (sqrt(x)-x0)*(sqrt(x)+x0)/(sqrt(x)+x0)| = | (x - x0)/(sqrt(x)+x0)| <
δ/(sqrt(x)+x0) < δ/x0 = (ℇ*x0)/(x0) = ℇ
Im allgemeinen nähert man sich einem Grenzwert unendlich nah an; also z.B. im Koordinationsystem eine Funktion für x gegen unendlich geht z.B. der Graph gegen den Grenzwert 0 aber wird nicht Null, nähert sich der Null an;
Vielleicht hilft dir das
Im modernen Grenzwertkonzept betrachtet man nicht nur isolierte Punkte, sondern auch deren Umgebung. Es fokussiert sich darauf, wie sich Funktionen in der Nähe eines bestimmten Punktes verhalten. Der Grenzwert beschreibt den Annäherungsprozess einer Funktion an einen bestimmten Wert, wenn die unabhängige Variable sich diesem annähert, ohne diesen exakt zu erreichen.
Bei der Grenzwertberechnung schreibt man z.B. für x gegen unendlich bei einer Funktion
Lim x->unendlich f(x)
x gegen unendlich schreibt man normal unter lim wenn du das gemeint hast oder meinst du eine allgemeine Definition?
ne das ist mir klar. Du weist ja das man einen Grenzwert annähert z.B hat man die Funktion 1/x. Man will ja wissen was passiert wenn man null einsetzt. Man weiß sie läuft gegen null. Nun das Problem ist man arbeitet mit Punkten also setzt z.B 1 ein dann 0.1 und so weiter Nun bei dem modernen Grenzwertbegriff arbeitet man nicht mehr mit Punkten sondern Umgebung meine frage ist wie funktioniert das.
Unter folgendem Link ist eine genaue Definition, unter z.B. Grenzwert einer reelen Zahlenfolge;
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)
Mit Umgebung ist dann einfach eine Umgebung um den Grenzwert gemeint. Im Artikel muss dies für jedes e>0 gelten, also z.B. nimmt man für e =0.000000...1(wenn die Folge für große N gegen 0 geht wie z.B. bei der Folge 1/n) und dann schaut man ab welchen n der Wert der Folge kleiner dem Epsilon ist und alle weiteren...
Schaut dir dazu einfach die Illustrationen bei dem angegebenen Link mit dem Schlauch an, dann sollte es klar sein... So ist der Grenzwert dann eindeutig bestimmt
Beim Beweis geht man dann allgemein vor, dazu ist auch ein Beispiel beim angegebenen Link unter Grenzwert einer reelen Folge unter Beispiele; da wird das Beispiel mit der Folge 1/n behandelt;
Die Gleichung die du siehst gilt dann für alle e>0 wenn gilt 1/N<e, man also immer ein Epsilon wählt das größer als 1/N ist; man kann für jedes N ein Epsilon wählen und dann sind alle weiteren Werte der Folge kleiner als Epsilon also in der Umgebung vom Grenzwert a+e und Grenzwert a-e;
Für 1/100 kann man für e dann z.B. 1/99 wählen und so weiter;
Bei Funktionen ist das im Grunde das gleiche
Yep soweit habe ich es verstanden nur mein Problem ist, wie man diesen aufstellt richtig von der Notation.