Kann jemand erklären wie man hier den Grenzwert berechnet? Ich habe einfach keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll?

Answer 1

[TBDRM]

a_n = (1 – 1 / (n – 2))^(n+5)

a_n = ((n – 3) / (n – 2))^(n+5)

[Prüfen, ob überhaupt konvergiert.]

[1. Beschränktheit]

0 ≤ (n – 3) / (n – 2) ≤ 1

0^(n+5) ≤ ((n – 3) / (n – 2))^(n+5) ≤ 1^(n+5)

0 ≤ a_n ≤ 1

[2. Monotonie (wachsend)]

a_(n+1) > a_n

((n – 2) / (n – 1))^(n+6) > ((n – 3) / (n – 2))^(n+5)

(n – 2) / (n – 1) ((n – 2) / (n – 1))^(n+5) > ((n – 3) / (n – 2))^(n+5)

(n – 2) / (n – 1) > ((n – 1) (n – 3) / (n – 2)²)^(n+5)

1 – 1 / (n – 1) > (1 – 1 / (n – 2)²)^(n+5)

[Anwenden Bernoulli-Ungleichung]

1 – 1 / (n – 1) > 1 – (n + 5) / (n – 2)²

(n + 5) / (n – 2)² > 1 / (n – 1)

(n + 5) (n – 1) > (n – 2)²

n² + 4 n – 5 > n² – 4 n + 4

n > 9 / 8 (n ≥ 3)

[Monotoniekriterium (für Folgen) ist erfüllt, es gibt also (genau) einen Grenzwert.]

[Grenzwert berechnen.]

a_n = (1 – 1 / (n – 2))^(n+5)

a_(n+2) = (1 – 1 / n)^(n+7)

a_(n+2) = (1 – 1 / n)^7 • (1 – 1 / n)^n

a_(n+2) = b_n • c_n

[mit den Definitionen:]

b_n := (1 – 1 / n)^7

c_n := (1 – 1 / n)^n

[Wenn b_n und c_n beide konvergieren, konvergiert auch a_n (Rechengesetz für Folgen). Wir zeigen also, dass b_n und c_n konvergieren, um den Grenzwert für a_n anzugeben.]

[Grenzwert b_n berechnen]

b_n = (1 – 1 / n)^7

1 – 1 / n —> 1 (n —> ∞)

[Anwenden Rechengesetz (siehe Link oben)]

b_n = (1 – 1 / n)^7 —> 1^7 = 1 (n —> ∞)

[Grenzwert c_n berechnen]

c_n = (1 – 1 / n)^n

[Bekannte Folge, (1 + x / n)^n ist die Folge, die gegen e^x geht, also folgt:]

c_n —> e^(–1) = 1 / e (n —> ∞)

[Es konvergieren also beide Folgen, also ist der Grenzwert von a_n einfach...]

a_n = b_n • c_n —> 1 • 1 / e = 1 / e (n —> ∞)

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Answer 2

[Uwe65527]

Ich würde es umstellen:

Der Grenzwert ist 1/e.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Comments

[Akademiker99]

Hallo, ich weiß die Rückmeldung kommt etwas spät aber kannst du mir mal erklären wie du auf n+7 im Exponenten kommst?

[Uwe65527]

@Akademiker99

Ja, die Aufgabe ist nicht ganz einfach. Da muss manch ein Gedankengang erstmal sacken.

Es ist eine Indexverschiebung: Ich gehe einfach 2 Folgenglieder weiter. Das spielt für das Verhalten im Unendlichen keine Rolle: Auf der linlen Seite habe ich n+2. Da muss ich rechts auch überall n um 2 erhöhen. Das habe ich so gewählt, damit die -2 im Nenner verschwindet.

[Akademiker99]

@Uwe65527

Ich kriege es einfach nicht gebacken :(.
wäre es möglich, dass du mir das vorrechnest oder es mir irgendwie erklären könntest. Ich würde es richtig gerne verstehen