Ist das hier nicht dasselbe?
Ich mache gerade Aufgabe 3 und hatte zu b) und c) eine Frage:
Gilt da nicht eigentlich dieselbe Begründung, dass e^x≠0 wird?
1 Antwort
In a) hast du gezeigt, dass die Funktion einen Tiefpunkt hat. Dazu hast du die Ableitung gebildet und = 0 gesetzt, dass heißt, du hast berechnet
f'(x) = e^x - 1 = 0
also e^x = 1 und das ist nur bei x = 0 der Fall (hier gleich merken: es gibt nur eine Lösung hier!). Außerdem musst du noch die zweite Abbildung bilden
f''(x) = e^x
und überprüfen, ob die an dieser Stelle größer, gleich oder kleiner als Null ist. f''(0) = e^0 = 1 ist größer als Null, also ist an der Stelle 0 ein Tiefpunkt.
An keiner Stelle braucht man dazu das Wissen, dass e^x ungleich bzw. immer größer als Null ist (man könnte das benutzen, um im letzten Schritt nicht einsetzen zu müssen, aber nötig ist das da nicht).
In b) musst du jetzt zeigen, dass es keine Wendestelle gibt. Dazu musst du die zweite Ableitung berechnen und gleich Null setzen
f'(x) = e^x = 0
Und hier kannst du jetzt dein Wissen einsetzen, dass e^x nie Null ist, es also keine Wendestelle geben kann.
Aber für die Beantwortung der Frage reicht es nicht aus, einfach nur zu schreiben, e^x ist nie Null, sondern du musst die Ableitung schon wirklich hinschreiben. Erst dann zieht das Argument.
in c) kannst du jetzt aus dem vorherigen schließen: Du hast genau einen Tiefpunkt und es gibt keine weiteren Extrema (das hast du in a. gezeigt), darum kann der Funktionsgraph nicht an einer anderen Stelle die x-Achse schneiden. Darum hat die Funktion keine Nullstellen. Wenn du hier rechnen wolltest, würdest du sagen müssen: Die Funktion hat dann eine Nullstelle, wenn gilt
f(x) = e^x - x = 0, d. h. e^x = x. Das kann man so einfach nicht lösen. Und das Wissen, dass e^x nicht Null sein kann, hilft hier nicht, damit kann man nicht argumentieren.
Die Tatsache, dass e^x nicht Null sein kann, hilft immer dann, wenn man
- nach Nullstellen genau dieser Funktion e^x sucht, dann weiß man nämlich, dass es keine gibt
- durch e^x teilen will, dann weiß man nämlich, dass man das darf.
Es hilft nichts, das einfach mal in den Raum zu schmeißen, um irgendwas zu begründen. Wenn du z. B. in diesem Beispiel stattdessen die Funktion g(x) = e^x - x² hättest, dann könntest du nicht sagen "g hat keine Nullstelle, weil e^x immer ungleich 0 ist", das wäre schlicht falsch, denn g hat sehr wohl eine Nullstelle. Und du könntest auch nicht sagen, dass g(x) keine Wendestelle hat, weil e^x immer ungleich Null ist - denn g(x) hat eine Wendestelle. Es ist für das Rechnen mit e^x wichtig, dass diese Funktion nicht gleich Null sein kann, aber es ist kein Argument für alles mögliche.
