Exponentielles Wachstum, kleine Zeiteinheiten?
Also was zuvor gesagt wurde, wenn man bei x0*(1+p)^t die Zeit t so runterskaliert, dass man z.B, die minütl. Änderung will, wenn △t=1 eine Std. ist und p der std. Zuwachs, also der gleiche Stundenzuwachs ist dann x0*(1+(p/60))^(t*60), hat aber nicht dasselbe Ergebnis wie oben, sondern nähert sich x0*e^p an. Das war anscheinend die Herleitung für diese Folie.
Ich versuche mal zu erklären, was ich vielleicht verstehe, am Ende sind die Fragen.
Die erste Zeile bedeutet, dass man den Zuwachs pro t durch n teilen muss, wenn es hier nur um △t/n geht.
Die Zweite bedeutet, dass der Unterschied △x ca. das alte x mal die Zuwachsrate in der angegebenen Zeit ist. Das kann man umformen in etwas (Sekante?), was als Herleitung einer Differentialgleichung in der nächsten Folie dient, also die zeitl. Änderung.
Meine Frage:
Ich verstehe irgendwie die Interpretation im Kasten nicht ganz. Warum ist das nur für sehr kurze Zeiträume? Und was bedeutet das mit dem kontinuierlich? Ist ein Exponentieller Graph nicht sowieso kontinuierlich? Oder meint man das so, dass es unendlich viele Messwerte gibt, und es keine Zeitsprünge zwischen den Messwerten gibt, weil es einen für jedes unendlich kleines △t gibt, und die Variable t so kontinuierlich wird?
Da müsste man etwas mehr über den Sachverhalt wissen. Meine Vermutung: Für kleine Zeitdifferenzen kann man den Kurvenverlauf als linear annehmen.
Danke!
1 Antwort
Ich blicke nicht zu 100% durch, aber was ich mir vorstellen könnte was sie meinen, ist, die Fläche zwischen Graph und x-Achse wie beim Integral zu berechnen. Ein Integral besteht ja praktisch aus unendlich vielen kleinen Rechtecken, die unter den Graph gepackt und deren Fläche addiert werden.