Exponentialgleichungen - Help!?

Hi,

Ich schreibe am Montag einen Mathe Test zum Thema Exponentialgleichungen und bin einfach total aufgeschmissen. Ich kann irgendwie Aufgabe 2 far nicht lösen, da auf beiden Seiten dieses x ist und ich weiß einfach nicht wie ich es loswerden soll mit den Logarithmengesetzten :(

Answer 1

[verreisterNutzer]

Ich mach’ mal Aufgabe a) und zuerst mal die Seiten einzeln:

linke Seite: $3^{5x-3}=3^{5x}\cdot3^{-3}=\left(3^5\right)^{^x}\cdot\frac{1}{27}=243^x\cdot\frac{1}{27}$

rechte Seite: $2^{3x+5}=\left(2^3\right)^{^x}\cdot2^5=8^x\cdot32$

Gleichsetzen $243^x\cdot\frac{1}{27}=8^x\cdot32\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\cdot\ 27\ \ \ |\ :\ 8^x$ $\left(\frac{243}{8}\right)^x=\ 32\cdot27\ \ \ \ \ \ \ |\ \ln$ $x\cdot\ln\ \left(\frac{243}{8}\right)=\ \ln\left(32\cdot27\right)\ \ \ \ |\ \ln\left(\frac{243}{8}\right)$ $x=\ \frac{\ln\left(32\cdot27\right)}{\ln\left(\frac{243}{8}\right)}$

Die Probe überlasse ich Dir.

Comments

[Springheart]

Hi, ich wollte nur kurz was zum Verständnis nochmal nachfragen, unzwar warum du statt log, ln genommen hast und woran ich Aufgaben erkenne in denen ich ln nutzen kann :)

[verreisterNutzer]

@Springheart

Hi, ich wollte nur kurz was zum Verständnis nochmal nachfragen,

Du kannst bei solchen Aufgaben immer jeden Logarithmus zu jeder beliebigen Basis benutzen, denn am Ende interessiert nur, dass man mit dem Logarithmus-Gesetz

log(a^x) = x·log(a)

den Exponenten "nach unten" holen kann (Das Gesetz gilt ja für jeden Logarithmus) . Da es zudem möglich ist, den Logarithmus stets über die Basiswechsel-Formel von einer Basis in den Logarithmus einer anderen Basis umzurechnen, habe ich mir angewöhnt nur noch den Logarithmus zur Basis e (ln) zu verwenden.

[Springheart]

Danke sehr! 😊

Answer 2

[mihisu]

Naja. Wende doch einfach mal einen Logarithmus (zu irgendeiner Basis, beispielsweise den Logarithmus zur Basis 2) auf die Gleichung an. Ziehe dann die Terme mit Hilfe der Logarithmengesetze etwas auseinander. Dann entsteht eine einfache lineare Gleichung (auch wenn sie evtl. auf den ersten Blick komplizierter erscheinen mag, als sie tatsächlich ist), die du lösen können solltest.

============

Beispielsweise bei Aufgabe 2 a):

$3^{5x-3}=2^{3x+5}$

[Anwenden des Logarithmus zur Basis 2]

$\log_{2}\left(3^{5x-3}\right)=\log_{2}\left(2^{3x+5}\right)$

[Den Exponenten kannst du nun multiplikativ vor den Logarithmus schreiben.]
[Hinweis: Vergiss dabei die Klammern um 5x - 3 bzw. 3x + 5 nicht. Denn der gesamte Term 5x - 3 bzw. der gesamte Term 3x + 5 muss mit dem Logarithmus multipliziert werden. Sonst würde aufgrund von Punkt-vor-Strich nur ein Teil dieser Terme mit dem Logarithmus multipliziert werden, wenn du die Klammern nicht setzen würdest.]

$\left(5x-3\right)\cdot \log_{2}\left(3\right)=\left(3x+5\right)\cdot \log_{2}\left(2\right)$

[Ausmultiplizieren]

$5x\cdot \log_{2}\left(3\right)-3\cdot \log_{2}\left(3\right)=3x\cdot \log_{2}\left(2\right)+5\cdot \log_{2}\left(2\right)$

$5\cdot \log_{2}\left(3\right)\cdot x-3\cdot \log_{2}\left(3\right)=3\cdot \log_{2}\left(2\right)\cdot x+5\cdot \log_{2}\left(2\right)$

Das mag nun etwas kompliziert aussehen, aber im Grunde ist das nun einfach eine lineare Gleichung der Form ax + b = cx + d, welche man nach x auflösen kann.

[Sortiere die Terme mit Faktor x auf die linke Seite und die Terme ohne Faktor x auf die rechte Seite. Subtrahiere dementsprechend 3 ⋅ log₂(2) ⋅ x und addiere 3 ⋅ log₂(3).]

$5\cdot \log_{2}\left(3\right)\cdot x-3\cdot \log_{2}\left(2\right)\cdot x=5\cdot \log_{2}\left(2\right)+3\cdot \log_{2}\left(3\right)$

[Ausklammern von x auf der linken Seite der Gleichung.]

$\left(5\cdot \log_{2}\left(3\right)-3\cdot \log_{2}\left(2\right)\right)\cdot x=5\cdot \log_{2}\left(2\right)+3\cdot \log_{2}\left(3\right)$

[Dividiere durch 5 ⋅ log₂(3) - 3 ⋅ log₂(2), damit x allein auf der linken Seite der Gleichung stehen bleibt.]

$x=\frac{5\cdot \log_{2}\left(2\right)+3\cdot \log_{2}\left(3\right)}{5\cdot \log_{2}\left(3\right)-3\cdot \log_{2}\left(2\right)}$

Das kannst du nun deinen Taschenrechner auswerten lassen...

$x\approx 1\text{,}9808$

------------

Hinweis: Bei meiner Beispielrechnung hätte man zwischendurch auch log₂(2) = 1 vereinfachen können. Dementsprechend kann man beispielsweise am Ende...

$x=\frac{5\cdot \log_{2}\left(2\right)+3\cdot \log_{2}\left(3\right)}{5\cdot \log_{2}\left(3\right)-3\cdot \log_{2}\left(2\right)}=\frac{5\cdot 1+3\cdot \log_{2}\left(3\right)}{5\cdot \log_{2}\left(3\right)-3\cdot 1}=\frac{5+3\cdot \log_{2}\left(3\right)}{5\cdot \log_{2}\left(3\right)-3}$

... vereinfachen (oder natürlich auch schon in einem der vorigen Rechenschritte diese Vereinfachung durchführen).

====== Ergänzung ======

Bild mit Lösungsvorschlag zum Vergleich...

Comments

[Springheart]

Ich wollte nur noch kurz fragen: Warum nimmt man die Basis 2 und nicht zB die Basis 3? Könnte man Basis 3 auch nehmen oder geht nur bei der Aufgabe Basis 2?

[mihisu]

@Springheart

Man könnte genauso auch den Logarithmus zur Basis 3 verwenden, und damit die Aufgabe lösen. Man könnte auch den Logarithmus zur Basis 10 verwenden, oder zur Basis 12, oder zu irgendeiner anderen Basis. Das ergibt hier keinen großartigen Unterschied. Deswegen habe ich auch zu Beginn meiner Antwort geschrieben...

„Wende doch einfach mal einen Logarithmus (zu irgendeiner Basis, beispielsweise den Logarithmus zur Basis 2) auf die Gleichung an.“

============

Bei gewissen Teilaufgaben bietet es sich aber natürlich trotzdem an, eine gewisse Basis zu verwenden. Wegen 2 = 2¹ und 4 = 2² bietet es sich beispielsweise bei Teilaufgabe b) an, den Logarithmus zur Basis 2 zu nutzen. Denn dann kann man Teile der Rechnung etwas vereinfachen, da dann log₂(2) = log₂(2¹) = 1 und log₂(4) = log₂(2²) = 2 ist und man so recht schnell auf „schöne“ natürliche Zahlen kommt. Genauso bietet es sich bei Teilaufgabe e) an, dort den Logarithmus zur Basis 2 zu nutzen, da 2 = 2¹ und 8 = 2³ und 16 = 2⁴ ist.

Aber: Man muss dort nicht den Logarithmus zur Basis 2 nutzen, sondern kann auch eine andere Basis verwenden und trotzdem zum Ergebnis kommen. Dann erscheint die Rechnung eben gegebenenfalls etwas umständlicher.

[Springheart]

Danke sehr!

Answer 3

[DerRoll]

1f) Die 72 auf die linke Seite und die 5*4^x auf die rechte Seite bringen. 4^x ausklammern und durch den Vorfaktor teilen. Dann logarithmieren.

2) Verwende den Basiswechselsatz, also das z.B. log_2 (x) = log_3(x)/log_3(2)

Comments

[Springheart]

Hey, Danke sehr! Wir hatten den Basiswechselsatz nur noch nicht, müsste ich wahrscheinlich nachholen.

[DerRoll]

@Springheart

Ohne den ist die 2 aber nicht zu lösen.

Answer 4

[Halbrecht]

die Potenzen aufteilen.................a^(3+2x) = a^3 * a^2x

.

a)

3^5x * 3^-3 = 2^3x * 2^5

1/27 * 3^5^x = 1/32 * 2^3x

.

man könnte sogar noch 

aus 3^5x machen (3^5)^x = 243^x 

2^3x = 8^x 

.

also 

1/27 * 243^x = 1/32 * 8^x 

mal 32 

32/27 * 243^x = 8^x 

jetzt log 

log(32/27) + x * log (243) = x * log (8) 

Comments

[Springheart]

Hi, ich habe nur noch eine Frage unzwar wie bist du auf 1/32 gekommen, wenn 2^5 32 sind?

[Springheart]

Danke sehr!