Ebenen im Raum?

2 Antworten

Rhenane
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
rechnen, Funktion, Geometrie
06.11.2023, 16:37

1) und 2) sind dieselben Fälle wie bei Deiner anderen Frage, nur halt diesmal ohne konkrete Zahlen, d. h. die Ortsvektoren der Geraden sind jeweils dieselben wie der Stützvektor der Ebene, und die Richtungsvektoren entsprechen exakt den Spannvektoren der Ebene.

Bei 3) startet die Gerade nicht bei Ortsvektor a, sondern beim Ortsvektor (a+u), der ebenfalls auf der Ebene liegt, denn Du begibst Dich (gedanklich) zuerst zum Punkt a, gehst aber dann "auf der Ebene" den Spannvektor u enlang und landest so am "Startpunkt" (a+u) der Geraden. Und von dort geht es dann in dieselbe Richtung wie beim zweiten Spannvektor der Ebene.

Bei der 4. Geraden begibst Du Dich wieder auf die Ebene zum Punkt a, schreitest von dortaus 3-mal den zweiten Stützvektor ab, befindest dich also immer noch auf der Ebene. D. h. der Vektor (a+3v) ist der Ortsvektor ("Startpunkt") dieser Geraden. Und von da geht es dann in dieselbe Richtung in die der erste Spannvektor der Ebene auch läuft.
Equator
06.11.2023, 12:19

In der analytischen Geometrie kann eine Ebene durch eine Parameterform wie folgt dargestellt werden:

\[ \vec{x} = \vec{a} + r\vec{b} + s\vec{c} \]

Hier ist \(\vec{x}\) der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, \(\vec{a}\) ist der Ortsvektor eines bestimmten Punkts in der Ebene (der Stützvektor), und \(\vec{b}\) sowie \(\vec{c}\) sind Richtungsvektoren der Ebene, die nicht kollinear sind. Die Skalare \(r\) und \(s\) sind Parameter, die alle reellen Zahlen annehmen können.

Um zu überprüfen, ob eine gegebene Gerade in der Ebene liegt, müssen wir sicherstellen, dass jeder Punkt der Geraden auch einen Punkt in der Ebene darstellt. Das bedeutet, dass der Ortsvektor der Gerade eine lineare Kombination des Stützvektors und der beiden Richtungsvektoren der Ebene sein muss.

In deinem Fall ist die Ebene gegeben durch:

\[ \vec{x} = \vec{a} + r\vec{u} + s\vec{v} \]

Ohne die spezifischen Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{u}\), und \(\vec{v}\) zu kennen, müssen wir generell prüfen, ob der Ortsvektor jeder Geraden (beispielsweise \(\vec{g} = \vec{p} + t\vec{q}\), wobei \(\vec{p}\) der Stützvektor und \(\vec{q}\) der Richtungsvektor der Geraden ist) als solche Kombination ausgedrückt werden kann.

Für jede der gegebenen Geraden:

1. \( \vec{g} = \vec{i} + t\vec{j} \)

2. \( \vec{g} = \vec{j} + t\vec{i} \)

3. \( \vec{g} = \vec{i} + t\vec{k} \)

4. \( \vec{g} = \vec{i} + 3\vec{j} + t\vec{i} \)

müssen wir überprüfen, ob \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) durch \(\vec{a}\), \(\vec{u}\), und \(\vec{v}\) ausgedrückt werden können. Um dies zu tun, bräuchten wir die spezifischen Ausdrücke für \(\vec{a}\), \(\vec{u}\), und \(\vec{v}\). Wenn \(\vec{p}\) als \(\vec{a}\) plus eine Kombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) und \(\vec{q}\) als nur eine Kombination von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ausgedrückt werden kann, liegt die Gerade in der Ebene. Wenn nicht, liegt sie nicht in der Ebene.