Wie wäre die Schnittgerade dieser beiden Ebenen?

Danke für eure Hilfe😀

Answer 1

[mihisu]

Eine mögliche Gleichung der Schnittgeraden g:

$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R}$

=====Möglicher Lösungsweg======

Löse das durch die beiden Gleichungen

$[1\text{a}]:\quad 2x_1-4x_2+6x_3=8$ $[2\text{a}]:\quad x_1+4x_2-3x_3=-5$

gegebene Gleichungssystem. Dazu kann man zunächst Gleichung [1a] durch 2 dividieren und dann die so erhaltene Gleichung von Gleichung [2a] subtrahieren.

$\frac{1}{2}\cdot[1\text{a}]\rightarrow [1\text{b}]:\quad x_1-2x_2+3x_3=4$ $[2\text{a}]-[1\text{b}]\rightarrow [2\text{b}]:\quad 6x_2-6x_3=-9$

Dividiere [2b] durch 6.

$[1\text{b}]:\quad x_1-2x_2+3x_3=4$ $\frac{1}{6}\cdot[2\text{b}]\rightarrow [2\text{c}]:\quad x_2-x_3=-\frac{3}{2}$

Zu [1b] addiere 2-mal [2c].

$[1\text{b}]+2\cdot [2\text{c}]\rightarrow [1\text{c}]:\quad x_1+x_3=1$ $[2\text{c}]:\quad x_2-x_3=-\frac{3}{2}$

Das Gleichungssystem ist [klar, da mit 2 Gleichungen bei 3 Variablen] unterbestimmt und nicht eindeutig lösbar. Man kann hier x₃ frei wählen. Sei also x₃ = λ ∈ ℝ beliebig.

$x_3=\lambda$

Wenn man x₃ = λ in [1c] einsetzt, erhält man...

$x_1+\lambda =1\quad \Leftrightarrow\quad x_1=1-\lambda$

Wenn man x₃ = λ in [2c] einsetzt, erhält man...

$x_2-\lambda =-\frac{3}{2}\quad \Leftrightarrow \quad x_2=-\frac{3}{2}+\lambda$

Damit erhält man für Ortsvektoren der Punkte in der Schnittmenge der beiden Ebenen...

$\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\lambda\\-\frac{3}{2}+\lambda\\\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\left(-1\right)\cdot \lambda\\-\frac{3}{2}+1\cdot\lambda\\0+1\cdot \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Dementsprechend erhält man als eine mögliche Gleichung in Parameterform für die gesuchte Schnittgerade g...

$g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},\ \lambda\in\mathbb{R}$

Comments

[silvercoins2019]

Mega danke für deine Mühe

Answer 2

[gauss58]

Schnittgerade g: x = (-1/2│0│3/2) + r * (-1│1│1)