Differentialgleichung?

Hallo,

Gegeben ist die Differentialgleichung y

$y′′(x)+6y′(x)+9y(x)=e^{-3x}$

Die homogene Lösung ist:

$yh(x)=C1e^{−3x}+C2xe^{−3x}$ Wie komme ich auf die spezielle Lösung?
Die Spezielle Lösung müsste laut Lösung
$ys(x)=\frac{1}{2}e^{−3x}x^2$ sein.
Wie komme ich auf das bzw, wie ist die Rechenweg

Kann mir bitte helfen??

Answer 1

[gauss58]

Es gibt nur ein λ und zwar λ = -3 (doppelte Nullstelle)

Nutze daher den Ansatz:

y_s(x) = A * x² * e^(-3x)

y_s'(x) = -A * e^(-3x) * x * (3x - 2)

y_s''(x) = A * e^(-3x) * (9 * x² - 12x + 2)

A * e^(-3x) * (9 * x² - 12x + 2) - 6 * A * e^(-3x) * x * (3x - 2) + 9 * A * x² * e^(-3x) = e^(-3x)

A * (9 * x² - 12x + 2) - 6 * A * x * (3x - 2) + 9 * A * x² = 1

9 * A * x² - 12 * A * x + 2 * A - 18 * A * x² + 12 * A * x + 9 * A * x² = 1

2 * A = 1

A = 1 / 2

y_s(x) = (1 / 2) * x² * e^(-3x)

Answer 2

[DerRoll]

Diese Differentialgleichung ist wie wir früher sagten "Bronstein-integrabel", will sagen dass sich die Lösungsfunktion für diese Störfunktion in jeder besseren Formelsammlung findet. Vergleiche auch Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Kapitel 16 Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung, wo du die Herleitung für die Lösungsfindung bei solchen Störfunktionen findest.

Ein Mathematikstudium ist harte Arbeit und erfordert unter anderem auch ein Studium der zugehörigen Fachliteratur, die du in jeder Uni-Bibliothek leicht finden kannst.

Es bringt übrigens nichts, eine Frage zur Höheren Mathematik innerhalb von 30 Minuten drei Mal (!) einzustellen, davon gibt es weder bessere noch schnellere Antworten.