Partielle Ableitung ln (x/y)?

Hallo,

ich möchte gerne folgende Funktion nach y ableiten

$f\left(x,y\right)=e^{-x+y}+\ln\left(\frac{x}{y}\right)$

Die Lösung habe ich, die lautet

$fy=e^{-x+y}-\frac{1}{y}$ kann mir bitte jemand die Schritte erklären, wie ich auf die -1/y komme?
Also gibs da einen Tipp über Umschreiben oder so?

Also mir ist bewusst, dass ln zu 1/x wird. aber wird das y nicht irgendwie zu y^2???

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

$\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y$ Beim Ableiten nach y fällt ln x weg und aus -ln y wird -1/y.

wird das y nicht irgendwie zu y^2

Mit der Kettenregel hätte man

$\left( \ln \frac{1}{y} \right)' = \frac{1}{\frac{1}{y}} \cdot \frac{-1}{y^2} = -\frac{1}{y}$ Da käme in der inneren Abbleitung ein y² vor, wo sich aber ein y mit dem 1/y aus der äußeren Ableitung kürzt.

Answer 2

[nobytree2]

Wenn partiell nach y abgeleitet wird, kann man x konstant ansehen, also

$\left(e^{-x+y}+\ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)'=\left(e^{-x+y}\right)'+\left(\ln\left(\frac{x}{y}\right)\right)'$ $=e^{-x}\cdot\left(e^y\right)'+\left(\log\left(x\right)-\log\left(y\right)\right)'=e^{-x}\cdot e^y+\left(\log\left(x\right)\right)'-\left(\log\left(y\right)\right)'$ $=e^{-x+y}+0-\frac{1}{y}=e^{y-x}-\frac{1}{y}$

Den hinteren Teil mit Kettenregel

$\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\left(\frac{x}{y}\right)'\cdot\ln\left(z\right)\ mit\ z=\frac{x}{y},\ letzteres\ differenziert\ nach\ z$ $=-\frac{x}{y^2}\cdot\frac{1}{\frac{x}{y}}=-\frac{x}{y^2}\cdot\frac{y}{x}=-\frac{1}{y}$

Answer 3

[gauss58]

f(x, y) = e^(-x + y) + ln(x / y) = e^(-x + y) + ln(x) - ln(y)

fy(x, y) = e^(-x + y) - (1 / y)