Ableitung der ln Funktion?

Hallo, ich hatte mithilfe vom verlinkten Video versucht die ersten 3 Ableitungen zu bestimmen, bin jedoch an der ersten Ableitung gescheitert.

f(x)=ln(x^4-x^2+1)

es wäre hilfreich wenn jemand mir die Zwischenschritte erklären könnte.

https://youtu.be/qiAGZ6Ky2O0?si=5KT02kIGNepYhp8a

Answer 1

[Nyonle]

Die Funktion im Video hat eine ganz andere Struktur als deine Funktion.

Die Funktion im Video hat die Struktur f(x)*g(ln(x))

Deine Funktion hat die Form ln(h(x)).

Die Produktregel aus dem Video ist hier also direkt fehl am Platz und bei der Kettenregel sind die Rollen vertauscht.

Answer 2

[mihisu]

Die Funktions enthält zwar ebenfalls einen natürlichen Logarithmus, ist vom Aufbau her jedoch etwas unterschiedlich zu der im Video. [Die Produktregel, die im Video verwendet wird, brauchst du hier demnach auch gar nicht, da du quasi kein Produkt dastehen hast.]

============

$f(x)=\ln\left(x^4-x^2+1\right)$

kann als Verkettung f(x) = g(h(x)) der beiden Funktionen

$g(x)=\ln(x)\quad \text{ und }\quad h(x)=x^4-x^2+1$

mit

$g'(x)=\frac{1}{x}\quad \text{ und }\quad h'(x)=4x^3-2x$

gesehen werden.

Mit Hilfe der Kettenregel erhält man dann...

$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

[Bemerkung: g′(x) = 1/x verwenden]

$f'(x)=\frac{1}{h(x)}\cdot h'(x)$

[Bemerkung: h(x) = x⁴ - x² + 1 und h′(x) = 4x³ - 2x verwenden]

$f'(x)=\frac{1}{x^4-x^2+1}\cdot \left(4x^3-2x\right)$

$f'(x)=\frac{4x^3-2x}{x^4-x^2+1}$