Die Aufgabe mit der Normale der Funktion erklären?
So, ich habe jetzt diese Aufgabe gelöst, aber ich weiß nicht, ob die Lösung stimmt, da ich momentan kein CAS habe.
Man muss die Normale von g(x) = x hoch 2 - 2x an x0 = -1
Ich habe die Abteilung zuerst gemacht.
g'(x) = 2x-2.
Dann setzte ich -1 in die Funktion ein.
g'(-1) = 2 x (-1) - 2 = -4
und der Anstieg von g (x) ist dann 1/4
ich weiß aber nicht, wie man auf die Funktionsgleichung kommt. Liebe Mathematiker, könntet ihr mir bitte den Lösungsweg erklären?
2 Antworten
und der Anstieg von g (x) ist dann 1/4
Du hast doch gerade berechnet, dass g(x) = - 4 an der Stelle x = -1 ist. Der Anstieg der gesuchten Normalen n(x) ist 1/4 bei x = -1. Daher
und b berechnest Du mit g(-1)
Skizze:
Die Normale ist eine Gerade. Du hast die Steigung berechnet und du hast einen Punkt der Geraden. Den Punkt bekommst du, indem du x = -1 in die Parabelgleichung einsetzt.
y = mx + b
m ist bekannt, jetzt setzt du für x und y den Punkt ein und löst nach b auf.
x₀ ist doch der Punkt, für den du die Tangentensteigung mittels der Ableitung ausgerechnet hast. Und diese Tangente berührt die Funktion definitionsgemäß in genau diesem Punkt (x₀|y₀). Den y-Wert bekommst du, indem du x₀ in die Funktionsgleichung einsetzt. Das meint Tannibi mit "du hast einen Punkt der Geraden". (Denke ich zumindest.)
Da die Normale die Funktion in eben genau diesem Berührpunkt schneidet (in einem 90°-Winkel zur Tangente), ist (x₀|y₀) ebenfalls ein Punkt dieser Normalen.
Wenn die Normale die Gleichung y=mx+b hat, dann gilt für diesen Punkt: y₀=mx₀+b
m hast du schon, x₀ und y₀ auch. Fehlt nur noch b.
Zahlen einsetzen, nach b auflösen, fertig.
Natürlich.
Dein Kommentar unter dem Kommentar des Fragestellers war noch nicht da, als ich angefangen habe, meine Antwort zu tippen.
Ist ja auch egal. Ich hoffe, er hat es mit all den Erklärungen verstanden. Wenn nicht, wurde ihm die Lösung ja mittlerweile auch von anderen auf dem Silbertablett serviert.
Der Punkt (-1) ist für x und y gleichzeitig setzbar?