Diagonalisierbarkeit Matrizen?
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Mein Ansatz bis jetzt:
- Eigenwerte berechnen: Hat funktioniert
- Eigenwerte zu Eigenwerten berechnen: Also ein homogenes LGS lösen (da Matrix nach Abzug der Eigenwerte nicht mehr vollen Rang, für eine Variable einen festen Wert aussuchen/festlegen)
- Die Eigenvektoren in eine Matrix schreiben und die Determinante von dieser ausrechnen, um eine Voraussetzung für a,b zu finden, nach der die Determinante ungleich Null ist, also alle Eigenräume disjunkt zu einander und somit erzeugen sie R^3
Ist das der richtige Weg? Gibt es eine bessere Möglichkeit?
3 Antworten
Du kannst den Weg vereinfachen.
Wenn du die Eigenwerte bestimmst, solltest du sehen, dass zwei Eigenwerte nicht von a oder b abhängig sind (ich bezeichnet die beiden Eigenwerte mal als c und d) , und unterschiedlich sind. Der dritte Eigenwert ist einfach nur b.
Du musst dann nur drei Fälle betrachten:
b=c
b=d
b = sonst.
Beim 3. Fall solltest du eigentlich direkt eine Aussage zur Diagonalisierbarkeit machen können.
Bei den Anderen beiden fällen musst du dann schauen, bei welchen Werten für a der Eigentümer des doppelten Eigenwertes die Dimension 2 hat.
Nicht ganz. So würde der Fragensteller versuchen, die Eigenwerte zu bestimmen während b immer noch eine Variable ist. Durch die Fallunterscheidung kann er explizit werte für b einsetzen, (und bestimmte fälle direkt abhaken) wodurch die Folgeschritte einfacher sind und weniger Fehleranfällig.
(Und Ränge zu bestimmen sollte einfacher zu sein, als erst die Eigenvektoren zu bestimmen und dann zu schauen, wann die Determinante 0 ist, vor allem da die Ränge direkt abgelesen werden können)
Danke für den Tipp. Stimmt, dadurch ist der Rechenweg einfacher. Ich werde es mal probieren.
Ist das der richtige Weg?
Ja
Gibt es eine bessere Möglichkeit?
Ich kenne keinen.
Nebenbei
Eigenwerte zu Eigenwerten berechnen
Da soll das erste Wort wohl "Eigenvektoren" lauten.
Ok, danke für deine Antwort! Dann mache ich das so!
Ja, da hat sich ein Schreibfehler eingebaut, danke für die Info.
Ist der richtige Weg - es kann aber sein, dass eine Matrix nicht diagonlisierbar ist, sondern es nur eine Jordan-Normalform mit Einsen über den einzelnen Jordan-Blöcken gibt…
Das ist aber im Grunde der Weg des Fragestellers. Klar, wenn die Eigenwerte alle ungleich zueinander sind ist die Dimension der zugehörigen Eigenräume notwendig 1, d.h. die Matrix ist diagonalisierbar. .