Beweis modulo m?
Seien x, y, r, s ∈ℤ und m ∈ℕ. Zeigen Sie: Wenn x Ξ r mod m und
y Ξ s mod m gilt, dann folgt x + y Ξ r + s mod m.
kann ich einfach folgendes machen:
x+y= r mod m + s mod m
= (r+s) mod m
also praktisch aber dieses mod m ausklammern?
2 Antworten
Nein, mod m kannst du nicht wie eine Variable ausklammern. Die Gleichheit ist zwar korrekt, aber das muss man erst beweisen. Verwende dazu als erstes mal die Definition von mod m. Also wenn gilt x Ξ r mod m, heißt das es gibt ein k mit x-r=k*m. Das Gleich machst du nun für y. Dann zeigst du, dass es ein l gibt mit
x+y-(r+s)=l*m
gibt.
Ja, das heißt es. Dafür benutzt du wieder die Definition. Aus deiner Rechnung folgt x+y-(r+s)=(k+n)m. Das bedeutet genau x + y Ξ r + s mod m. Es gilt nicht mod m = m(k+n), sondern m(k+n) Ξ 0 mod m. Aber das brauchst du hier nicht.
Kann man so machen, aber das ist ja gerade das, was Du zeigen sollst:
mod m: Z -> Z/mZ ist ein Ring-Homomorphismus bzw. ein Gruppenhomomorphismus in die additive Restklassen-Gruppe (Z/mZ, +).
Mein Vorschlag:
Sei x = r mod m und y = s mod m;
Dann gilt x = k*m + r und y = l*m + s mit ganzen Zahlen k und l.
Somit also x + y = k*m + r + l*m +s = (k + l)*m + (r + s), folglich
x + y = (r + s) mod m
Für Y hab ich doch dann y-s=n*m
wenn ich beide Gleichungen. Nach X und Y umstellen, hab ich doch:
x=k*m+r und y=n* m+s
und wenn ich jetzt addiere steht da doch folgendes:
k*m+r + n* m+s=m(k+ n)+r+s
heißt das, dass dann gilt x + y Ξ r + s mod m ?
Wenn ja, wieso ist mod m = m(k+n) ?