Kann mir jemand vielleicht die Konstruktion des Äußeren Produkts erklären?
Hallo,
folgende Unklarheiten beschäftigen mich derzeit:
Ich schaue mir gerade das Dachprodukt (bei uns Äußeres Produkt genannt) nochmal an und verstehe die Konstruktion nicht wirklich:
Wir haben es über die universelle Eigenschaft eingeführt und die Konstruktion (die für den Beweis notwendig ist) mit
/W (funktionierte nicht in die Formel), also der Quotientenraum, verstehe ich nicht. Ich weiß auch nicht wie man in der Anwendung z.B. den Ausdruck
verwenden kann bzw. wie man diesen interpretiert. Zu der Anwendung hatte ich auch eine Frage gestellt: https://www.gutefrage.net/frage/aufgabe-mit-aeusserem-produkt-dachprodukt-spur-und-charakteristischem-polynom.
Kann mir jemand vielleicht die Konstruktion des Äußeren Produkts erklären? Die UE habe ich so ganz gut verstanden, nur die Konstruktion nicht und auch nicht, wie man damit rechnen kann.
In der Vorlesung wurde z.B. auch gesagt, dass gilt:
(mit "R" als Reelle Zahlen)
Ich kann ich mir auch nicht wirklich etwas darunter vorstellen...
1 Antwort
Zur Konstruktion: Wir hatten ja bereits die Diskussion zum Tensorprodukt. Wir müssen einen Vektorraum konstruieren, der die UE erfüllt. In diesem Fall müssen wir aber alternierende multilineare Abbildungen betrachten. Für die Multilinearität ist es daher schon mal ein guter Ansatz das (mehrfache) Tensorprodukt des Vektorraums zu betrachten. Nun wollen wir aber nur alternierende Abbildungen. Wir müssen daher das Tensorprodukt "verkleinern". Dazu teilen wir einen geeigneten UVR heraus. Aber welchen? Eine alternierende Abbildung f:V^n-->U erfüllt ja:
Wir wollen also das unsere Tensoren folgendes erfüllen:
Also teilen wir den Untervektorraum raus, der von den Tensoren der Form:
erzeugt wird. Das ist natürlich noch kein Beweis aber die Idee hinter der Konstruktion.
Die neuen Elemente in ⋀^k(V) notieren wir nun nicht mehr mit ⊗, sondern als:
Wie rechne ich mit ⋀? Im Grunde kann ich mir v1 ⋀... ⋀vn als alternierende, multilineare Abbildung denken. Also gilt in jeder Komponente Linearität und dadurch, dass wir alle Tensoren mit zwei gleichen Komponenten rausgeteilt haben:
Wichtig für Rechnungen ist auch, dass für das Vertauschen von zwei Komponenten gilt:
Das folgt direkt aus alternierend. Allgemeiner gilt für eine Permutation Sigma in Sn:
Darunter vorstellen kann ich mir auch nichts. :) Das ist aber nicht schlimm. Das wichtige ist die universelle Eigenschaft verstanden zu haben.
,gilt per Definition. Das "0-fache" Tensorprodukt ist einfach als der zugrunde liegende Körper definiert. Für die Isomorphie:
zeigen wir entweder, dass K^2 die universelle Eigenschaft erfüllt, oder verwenden die Konstruktion. Dafür sehen wir, dass das "1-fache" Tensorprodukt einfach K^2 ist und der Untervektorraum W in diesem Fall der Nullraum ist. Ich würde aber den ersten Weg empfehlen, denn Argumente mit der Konstruktion werden sehr schnell nicht mehr besonders schön.
Als kleine Anmerkung: Für Beweise ist meistens die universelle Eigenschaft besser. Für Rechnungen , z.B. in der Differentialgeometrie, sind hingegen die Rechenregeln für ⋀ besser.
K^2 die universelle Eigenschaft erfüllt,
Müssten wir dann verwenden, dass es eine eindeutige Isomorphie zwischen zwei Konstruktionen gibt, die die UE erfüllen?
Eigentlich ist es beim Dachprodukt genauso. Die Multinlinearität erhalten wir durch das Tensorprodukt. Uns stört aber noch, dass das Tensorprodukt von Vektoren, bei denen zwei gleich sind, nicht 0 sein muss. Daher nehmen wir einfach die Mengen aller dieser Vektoren. Da wir aber nicht einfach eine Menge rausteilen können, müssen wir den von diesen Vektoren erzeugten UVR nehmen. In diesem neuem Vektorraum sind dann alle obigen Elemente, da sie ja im erzeugten UVR liegen.
Wie können wir diesen vektorraum rausteilen, wenn wir das it dem Quotientenraum tun?
Das Tensorprodukt ist einfach ein Vektorraum und daraus können wir einen beliebigen UVR teilen. Wie das Tensorprodukt konstruiert ist, interessiert uns hierfür wenig.
Müssten wir dann verwenden, dass es eine eindeutige Isomorphie zwischen zwei Konstruktionen gibt, die die UE erfüllen
Genau.
Vielen dan für deine Antwort!
Wie können wir diesen vektorraum rausteilen, wenn wir das it dem Quotientenraum tun?
Beim Tensorprodukt ist ja eine solch ähnliche Konstruktion mit dem Quotientenraum, in dem alle Elemente sind, die die Rechenoperationen in den Tensorraum mithinein nehmen. Nur beim Dachprodukt ist das irgendwie anders, das hatte ich nicht ganz verstanden, wie man diese Elemente hinaus "wirft".