Zu 100 g Wasser von 25 °C in einem Isoliergefäß [..] werden 50 g siedendes Wasser gegossen. Welche Temperatur stellt sich ein. Richtig gerechnet/gedacht?
Zu 100 g Wasser von 25 °C in einem Isoliergefäß mit vernachlässigbarer apparativer Wärmekapazität werden 50 g siedendes Wasser gegossen. Welche Temperatur stellt sich ein?
Lösung es ergibt sich 50 °C
Ich hätte das jetzt ganz einfach gemaacht:
ich habe zwei drittel 25 °C Wasser + 1/3 100 °C Wasser, teile die sich daruas ergebenden Summe von 150 ^C durch drei und erhalte 50 °C. Also anders gesagt durch den doppelt so hohen Anteil an kälterem Wasser, ergibt sich, dass das wärmere Wasser um die Hälfte kühler wird. Vielleicht blöd formuliert, aber so kann ich es mir doch ungefähr vorstellen oder muss ich an so eine aufgabe ganz anderes ran gehen?
Liebe Grüße und schönen vierten Advent, Tea Fuchs
5 Antworten
Dein Lösungsweg ist quick&dirty, aber korrekt. Ich hätte das auch so gerechnet, zumindest wenn die Zahlen so einfach sind.
Wenn Die Frage gewesen wäre 17.5 g Wasser von 16 Grad werden mit 29.8 g Wasser von 48.3°C vermischt, dann hättest Du das auf diese Art und Weise nicht mehr so gut lösen können. Und spätestens dann, wenn ein heißes Eisenstück in kaltes Wasser geworfen wird, wärst Du mit dieser Methode hilflos gewesen.
Deshalb zeige ich es Dir hier, wie es allgemein gerechnet wird — nicht als Korrektur (if it ain’t broken, don’t fix it), sondern als Ergänzung.
Substanz 1 hat Masse m₁, Temperatur T₁, spezifische Wärmekapazität C₁, und das gleiche nochmal für Substanz 2 (m₂, T₂, C₂).
In unserem Fall: m₁=100 g, m₂=50 g, T₁=25°C, T₂=100°C, C₁=C₂=4.18 J g⁻ K⁻¹
(eigentlich sollten wir die Temperaturen in K angeben, aber bei dieser Aufgabe ist Schlampen erlaubt, weil letztlich nur Temperaturdifferenzen eine Rolle spielen)
Die heiße Substanz 2 hat gegenüber der kalten Substanz 1 eine Überschußtemperatur von T₂−T₁, das entspricht einer Überschußenergie von E = m₂·C₂·(T₂−T₁)=15.7 kJ.
Diese Energie müssen wir auf beide Systeme aufteilen. Die gesamte Wärmekapazität ist C=m₁·C₁+m₂·C₂=627 J/K, es gilt C=E/ΔT, also ΔT=E/C=m₂·C₂·(T₂−T₁)/(m₁·C₁+m₂·C₂)=25 K. Also liegt die Gesamttemperatur der Mischung 25 Grad über T₁, also bei 50°C.
Diese Prozedur ist zwar komplizierter als Dein Schnellschuß, kommt aber dafür auch mit schwierigeren Fragestellungen klar.
Spitzfindigkeit 1: Kochendes Wasser hat an den meisten Orten der Welt weniger als 100°C, weil die meisten Leute nicht am Meeresufer wohnen.
Spitzfindigkeit 2: Wärmekapazitäten sind temperaturabhängig (sie steigen mit der Temperatur an). Wenn man das berücksichtigt, kommt immer eine höhere Endtemperatur heraus als sie mit der von mir abgeleiteten Formel erhält. Allerdings macht das die Rechnung deutlich schwieriger, und der Effekt ist meistens klein.
(100 g * 25 °C + 50 g * 100 °C) / 150 g = ? in °C
Allerdings vermute ich eher, dass man das eigentlich nicht mit Celsius, sondern mit Kelvin rechnen müsste, wegen dem Energiegehalt, der ja eigentlich die Temperatur entsprechend der spezifischen Wärmekapazität definiert. Theoretisch ist nach Deiner Berechnung das Ergebnis korrekt, aber ich bin bezüglich dem Energiegehalt nicht ganz sicher.
Das ist auch eine quick&dirty-Methode: Du bestimmst so etwas wie einen (mit den Massen) gewichteten Mittelwert der Temperatur. Ich kann Deine Formel ja umschreiben als (100/150)·25°C + (50/150)·100°C, und das ist ein Mittelwert, weil sich die Vorfaktoren vor den Temperaturen zu 1 addieren.
Darf man immer machen, wenn die Wärmekapazitäten der beiden vermischten Stoff gleich sind. In diesem Fall also OK.
Es ist bei der Mischung
Q(vom heißen Wasser abgegeben) = Q(vom kalten Wasser aufgenommen)
c(Wasser) • m(heißes Wasser) • (100°C - ϑₓ) = c(Wasser) • m(kaltes Wasser) • (ϑₓ - 25 °C)
Es ist:
c(Wasser) = 4,19 J/(g•K)
ϑₓ ist die Mischungstemperatur
Berechne nun ϑₓ.
Ich hab das genauso gerechnet.
(100*25+50*100)/150 oder auch gekürzt
(2*25+1*100)/3
Ja, stimmt.