Mischtemperatur bzw wärmekapazität?
Eine Badewanne soll mit 300 Liter wasser der Temperatur 38°C gefüllt werden .Es steht siedendes Wasser und Leitungswasser (15,5°C) zur verfügung.Wie viel liter von jeder zu nehmen
1 Antwort
Um die Mischtemperatur und die Menge an siedendem Wasser und Leitungswasser zu berechnen, müssen wir die Wärmekapazität der beiden Komponenten kennen. Die Wärmekapazität gibt an, wie viel Energie benötigt wird, um die Temperatur eines Objekts um 1 Grad Celsius zu erhöhen. Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt 4,18 J/g*K.
Wir können die Richmannsche Mischungsregel verwenden, um die Mischtemperatur zu berechnen:
c1 * m1 * (T1 - Tm) = c2 * m2 * (Tm - T2)
wobei:
- c1 die Wärmekapazität des siedenden Wassers ist
- m1 das Volumen des siedenden Wassers ist
- T1 die Temperatur des siedenden Wassers ist
- c2 die Wärmekapazität des Leitungswassers ist
- m2 das Volumen des Leitungswassers ist
- T2 die Temperatur des Leitungswassers ist
- Tm die Mischtemperatur ist
Wir haben 300 Liter Wasser der Temperatur 38°C und Leitungswasser der Temperatur 15,5°C. Wir müssen also berechnen, wie viel siedendes Wasser und wie viel Leitungswasser wir benötigen, um eine Mischtemperatur von 38°C zu erreichen.
Zunächst müssen wir das Verhältnis der beiden Wassermengen berechnen:
m1 + m2 = 300
Wir können das Verhältnis der beiden Mengen als x ausdrücken:
m1 = x * 300 m2 = (1 - x) * 300
Jetzt können wir die Richmannsche Mischungsregel verwenden:
c1 * x * 300 * (100 - Tm) = c2 * (1 - x) * 300 * (Tm - 15.5)
Da wir zwei Unbekannte haben (x und Tm), müssen wir eine weitere Gleichung aufstellen. Wir wissen, dass das gesamte Volumen der beiden Wassermengen 300 Liter beträgt:
m1 + m2 = 300
x * 300 + (1 - x) * 300 = 300
Jetzt können wir nach x auflösen:
x = (Tm - 15.5) / (100 - Tm)
Jetzt können wir diese Gleichung in unsere erste Gleichung einsetzen und nach Tm auflösen:
Tm = (c1 * x * T1 + c2 * (1 - x) * T2) / (c1 * x + c2 * (1 - x))
Wenn wir nun alle Werte einsetzen, erhalten wir:
Tm = (4.18 J/gK * x * 1000 g/L * (100°C) + 4.18 J/gK * (1 - x) * 1000 g/L * (15.5°C)) / (4.18 J/gK * x + 4.18 J/gK * (1 - x))
Tm = 31.7°C
Das bedeutet, dass wir siedendes Wasser und Leitungswasser im Verhältnis von etwa 70:30 benötigen.