Wie schnell muß die Murmel sein um den Looping zu schaffen?
Hallo
Ein paar Freunde und ich wollen eine Murmel Bahn (eigentlich Achterbahn) bauen im Zusammenhang eines Schul Projektes.
Wir wollen in diese Murmel Bahn einen Looping einbauen.
Meine Frage ist jetzt an die Mathematiker und Physiker wie schnell muss die Kugel ungefähr Rollen und wie steil muss der winkel sein wenn sie ja vorher runter rollt um die Geschwindigkeit zu bekommen damit sie den Looping schafft.
Also quasi so wie bei der Achterbahn "Die Krake" Im Heidepark.
Die Krake:
Ich hoffe ihr hab Verstanden was ich damit sagen wollte, ich weiß leider nicht wie ich es anders erklären soll 😅
6 Antworten
Hallo,
im untersten Punkt hat die Kugel die kinetische Energie
E=0,5mv^2.
Die Geschwindigkeit im obersten Punkt des Loopings nenne ich u. Die Zentripetalkraft hier muss größer als die Gewichtskraft sein. Das heißt
mu²/r > mg
u² > g•r
Die gesamte Energie hier beträgt
E = 0,5mu² + mg•2r > 0,5m •g•r + 2 m•g•r = 2,5mgr
Im Startpunkt der Bahn beträgt die potentielle Energie
E=mgh
Damit muss gelten h>2,5r.
Fur die Geschwindigkeit im untersten Punkt gilt dann
v=√(2gh)≈√(20h)≈√(50r) .... [h und r in m, v in m/s]
Dabei wurde die Reibung nicht berücksichtigt.
:-)
Wenn es eine punktförmige Kugel wäre, die ohne Reibung rollt, dann kommst du mit einer einfachen Energie-Betrachtung zurecht. Energie geht nicht verloren, sondern wird nur umgewandelt. Am Anfang hat die Kugel Lage-Energie, die beim Herunterrollen in Bewegungsenergie umgewandelt wird. Rollt sie wieder hoch, dann geht die Umwandlung anders herum.
Höhe des Startpunktes = maximale Höhe des Loopings.
Da die Kugel aber nicht punktförmig ist und Reibung eine Rolle spielt, geht Energie verloren, die man am Anfang zusätzlich braucht. Daher muss du die Startposition höher machen, als der Looping Höhe hat.
Der Winkel spielt dabei zunächst keine Rolle, solange die Kugel nicht zu groß ist.
Wenn das eine rollende Kugel ist, dann ist das ganze ziemlich schwer zu berechnen. Wenn es ein kleines Fahrzeug ist aber kein so großes Problem.
Die Krake im Bild verhält sich anders als eine klassische Kugel. Wenn die klassische Kugel mit ihrer Zentrifugalkraft (nein, das ist an sich keine richtige Kraft) nicht der Schwerkraft entgegenwirken kann, dann würde die Kugel einfach runterfallen. Auf der Krake passiert das aber nicht. Die Krake würde auch einfach runterfallen, wenn das Vehikel nicht auf den Schienen befestigt wäre.
Das bedeutet, die Murmel muss nicht nicht nur den Looping absolvieren, sondern sie muss ebenso am höchsten Punkt des Loopings eine nach außen gerichtete Kraft von ihrer Masse multipliziert mit 9,81m/s^2 haben, um die Schwerkraft auszugleichen und nicht herunterzufallen - und das alles, nachdem sie durch den Reibungswiderstand ordentlich was verloren hat.
Es empfiehlt sich also, den Looping maximal auf halber Höhe des Sturzes zu bauen. Das Ganze kann man auch noch berechnen, dafür fehlen aber viele Variablen, etwa die negative Beschleunigung durch die Reibung, die Masse der Murmel, der Radius des Loopings und ein paar weiteren. Machen wir uns also ans Werk!
Die Murmel muss eine Mindestgeschwindigkeit haben, um nicht herauszufallen. Dafür nehmen wir die Formel:
Diese Formel setzt sich zusammen aus der Beschleunigung im freien fall g und dem Radius des Loopings and der höchsten Stelle. Der ist am einfachsten zu bestimmen, wenn der Looping ein Kreis ist, aber das ist er bei einer Achterbahn nicht. Wir erhalten die Formel, wenn wir die Formel für die Zentripetalkraft und die Gewichtskraft gleichsetzen (beides muss ja gleich stark sein, damit die Kugel nicht fällt) und dann nach v auflösen. Wir sehen, dass, wenn die Erdanziehung oder der Radius größer werden, wir die Kugel schneller machen müssen, das scheint richtig zu sein, daher können wir damit rechnen.
Jetzt müssen wir natürlich noch wissen, wie hoch denn nun der Anfang des Sturzes sein muss. Damit das einfacher ist, positionieren wir das obere Ende des Loopings auf der Höhe 0. Wir nehmen dann diese Formel:
Diese Formel nehmen wir deshalb, weil die kinetische Energie, also die in der Geschwindigkeit enthaltenen Energie (einfach ausgedrückt) oben im Looping ja vom Sturz kommen muss, daher von der potenziellen Energie. Wir wissen ja, dass Energie nicht einfach aus dem nichts kommt. Wenn du etwas hochhebst, ist das anstrengend, da du diesem Gegenstand potenzielle Energie hinzufügst. Wenn du es fallen lässt, wird diese Energie in kinetische Energie umgewandelt. Unten ist die kinetische Energie dann genau so groß wie die potenzielle Energie oben noch war. Da die Loopingspitze ja hier unten war, und der Start des Sturzes oben, deckt sich das ja praktischerweise.
Wir schauen uns also die Formel an und erkennen, was wir suchen - wir suchen h, also die Höhe - in unserem Fall ist das die Höhendifferenz, da wir ja unseren Looping mit seiner Spitze als Höhe null definiert haben.
Wir formen also nach h um:
So, wo wir das haben, setzen wir noch v ein, das wäre also:
und stellen anschließend fest, dass sich das vereinfachen lässt zu
Das ist also unser Ergebnis. Damit das ganze funktioniert, muss der Beginn des Sturzes die Hälfte des Radius des Loopings and seinem höchsten Punkt über diesem Punkt sein. Oder einfach gesagt, du hast einen Looping, der auf der Erde Sitzt mit dem Radius 1m. Das bedeutet, der Sturz müsste 0,5 Metern über dem oberen Ende des Loopings anfangen, daher bei 2,5 Metern.
Aber halt, so einfach ist es auch wieder nicht. Wenn du eine Kugel irgendwo Langrollen lässt, dann hört sie irgendwann auf, zu rollen. Das liegt einerseits daran, dass die Kugel Reibung erfährt (insbesondere in einer Schiene, die sie noch seitlich hält) und Luftwiderstand. Damit das nicht zum Problem wird, sollte man das natürlich einplanen. Damit das aber nicht zu kompliziert wird, sagen wir einfach, wir verdoppeln die Höhendifferenz und sagen dann h = r. Dann startet der Sturz beispielsweise in unserem Beispiellooping 1m über dessen höchster Stelle, daher in 3 Metern Höhe. Natürlich baust du kein Modell in 3 Metern Höhe, es war nur einfach zu berechnen.
Anzumerken ist, dass das möglicherweise immer noch nicht funktioniert, da der Reibungswiderstand auch höher sein kann. Nimm daher am Besten eine schwere Kugel, damit der Reibungswiderstand dir nicht so viel kaputt machen kann. Mit einer Papierkugel funktioniert das alles nicht, mit einer Metallkugel aber schon eher. Weitere Probleme können auch durch Unebenheiten in der Schiene auftreten. Aber da ist langsam der Punkt erreicht, wo man das (zumindest auf Schulniveau) experimentell herausfinden darf, was man bauen muss.
Wenn das Ganze aber keine Murmelbahn, sondern eine Achterbahn ist, dann musst du unter perfekten Bedingungen einfach nur den Sturz leicht höher bauen als den Looping. Da aber nie perfekte Bedingungen erreicht werden, ist es natürlich günstig, auch wieder einen ordentlichen Zuschlag draufzurechnen.
Bei der Vollkugel ist es kompliziert (Trägheitsmoment). Bei einem kleinen Automodell, das recht gut geschmiert läuft, ist es dagegen relativ einfach zu berechnen:
Dort kommt es NUR auf das Verhältnis von Anfangshöhe zu Loopingdurchmesser an, nicht auf die Steigung. Das Ergebnis erhältst du aus der Randbedingung, dass dein Modellfahrzeug am höchsten Punkt des Loopings gerade noch durch die Fliehkraft gehalten wird.
wie schnell muss die Kugel ungefähr Rollen
kommt auf den Durchmesser Eures Loopings an.
und wie steil muss der winkel sein
Weitgehend egal. Wichtig ist die Höhe. Ohne Berücksichtigung der Verluste muss der Startpunkt einen Viertel Durchmesser höher liegen als der höchste Punkt des Loopings.
Ich würde es mit einer 45° Steigung versuchen und einem Startpunkt, der einen halben Durchmesser höher liegt. Und die Möglichkeit vorsehen, die Startrampe bei Bedarf noch zu verlängern.